Μέγιστη δύναμη του 3 για γινόμενο

[Al.Koutsouridis]

Είναι γνωστό ότι ο αριθμός είναι ο μεγαλύτερος εκ των αριθμών, που αποτελούν γινόμενο φυσικών αριθμών, το άθροισμα των οποίων είναι ίσο με . Σε ποιά μέγιστη δύναμη του τρία διαιρείται ο αριθμός ;

[Demetres]

Στο άθροισμα που δίνει το προφανώς δεν υπάρχει αφού αλλιώς σβήνουμε το και έναν οποιοδήποτε άλλο αριθμό και στη θέση τους γράφουμε τον που αυξάνει το γινόμενο, άτοπο.

Στο άθροισμα, δεν πρέπει επίσης να υπάρχουν αριθμοί μεγαλύτεροι ή ίσοι του : Αν βρίσκεται στο άθροισμα, σβήνουμε το και γράφουμε τα και με άθροισμα και γινόμενο . Άρα το γινόμενο αυξάνεται, άτοπο.

Στο άθροισμα μπορούμε επίσης να αποφύγουμε τα αφού κάθε μπορούμε να το ανταλλάξουμε με δύο .

Άρα στο άθροισμα μπορούμε να υποθέσουμε ότι έχουμε μόνο δυάρια και τριάρια. Επίσης, κάθε τρία δυάρια μπορούμε να τα ανταλλάξουμε με δύο τριάρια αυξάνοντας πάλι το γινόμενο. Άρα στο άθροισμα μπορούμε να έχουμε το πολύ δύο δυάρια.

Επειδή , ο μόνος τρόπος να συμβεί αυτό είναι να έχουμε μόνο ένα δυάρι στο άθροισμα.

Άρα το άθροισμα είναι όπου έχουμε τριάρια και η μέγιστη ζητούμενη δύναμη είναι το .