mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 30, 2019 7:42 pm**

: Ημιτετράγωνο.png (5.81 KiB) Προβλήθηκε 1410 φορές

Δίπλα στο τετράγωνο ABCD

σχεδιάσαμε το ημιτετράγωνο CBS

και ονομάσαμε

M,N

τα μέσα των CD , CS

αντίστοιχα . α) Δείξτε ότι AM=MN

β) Δείξτε ότι $AM \perp MN$ ... γ) Υπολογίστε την $\tan\theta , ( \theta=\widehat{MNC} )$ .

* Χρησιμοποιώ τον όρο "ημιτετράγωνο" αντί του όρου "τρίγωνο ορθογώνιο και ισοσκελές"

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 30, 2019 8:18 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 30, 2019 7:42 pm
Ημιτετράγωνο.pngΔίπλα στο τετράγωνο σχεδιάσαμε το ημιτετράγωνο και ονομάσαμε

τα μέσα των αντίστοιχα . α) Δείξτε ότι

β) Δείξτε ότι $AM \perp MN$ ... γ) Υπολογίστε την $\tan\theta , ( \theta=\widehat{MNC} )$ .

* Χρησιμοποιώ τον όρο "ημιτετράγωνο" αντί του όρου "τρίγωνο ορθογώνιο και ισοσκελές"

Υπάρχουν διάφορες λύσεις αλλά δίνω μία με Αναλυτική γιατί δεν χρειάζεται καθόλου να σκεφτούμε:

Με αρχή των αξόνων το

και πλευρά τετραγώνου

είναι

A(0,0), B(2a,0), C(2a,2a), M(a,2a), D(0,2a), N(3a,a)

. Από έτοιμους τύπους
$AM=MN=a\sqrt 5$ , κλίση AM=2

, κλίση

και $\tan \theta = 1/3$ . Tα υπόλοιπα άμεσα.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 30, 2019 8:43 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 30, 2019 7:42 pm
Δίπλα στο τετράγωνο σχεδιάσαμε το ημιτετράγωνο και ονομάσαμε

τα μέσα των αντίστοιχα . α) Δείξτε ότι

β) Δείξτε ότι $AM \perp MN$ ... γ) Υπολογίστε την $\tan\theta , ( \theta=\widehat{MNC} )$ .

* Χρησιμοποιώ τον όρο "ημιτετράγωνο" αντί του όρου "τρίγωνο ορθογώνιο και ισοσκελές"

: shape.png (11.74 KiB) Προβλήθηκε 1386 φορές

1) Ισχύει $MN\mathop = \limits^\parallel \dfrac{{DS}}{2} = AM$

2) Είναι $AM \bot DS$ , οπότε λόγω παραλληλίας $AM \bot MN$

3) Θέτω DT = 2TM = 2k

. Από ομοιότητα και Π.Θ. καταλήγω στο τρίγωνο LMT

που εύκολα $\tan \theta = \dfrac{1}{3}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 30, 2019 9:08 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 30, 2019 7:42 pm
Ημιτετράγωνο.pngΔίπλα στο τετράγωνο σχεδιάσαμε το ημιτετράγωνο και ονομάσαμε

τα μέσα των αντίστοιχα . α) Δείξτε ότι

β) Δείξτε ότι $AM \perp MN$ ... γ) Υπολογίστε την $\tan\theta , ( \theta=\widehat{MNC} )$ .

* Χρησιμοποιώ τον όρο "ημιτετράγωνο" αντί του όρου "τρίγωνο ορθογώνιο και ισοσκελές"

α)

$MN//DS,MN=\dfrac{DS}{2},DS^{2}=a^{2}+4a^{2} \Leftrightarrow DS=a\sqrt{5},MN=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}, AM^{2}=a^{2}+4a^{2},AM=MS$

β)

$2AN^{2}=\dfrac{AC^{2}}{2}+4a^{2} \Leftrightarrow AN^{2}=\dfrac{5a^{2}}{2}=2AM^{2}\Leftrightarrow AM\perp MN$

γ)
$\hat{MCN}=\hat{CSD}=\hat{MAC}=\theta ,\hat{DAM}=45-\theta , tan(45-\theta )= \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow tan\theta =\dfrac{1}{3}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 30, 2019 9:36 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 30, 2019 7:42 pm
Ημιτετράγωνο.pngΔίπλα στο τετράγωνο σχεδιάσαμε το ημιτετράγωνο και ονομάσαμε

τα μέσα των αντίστοιχα . α) Δείξτε ότι

β) Δείξτε ότι $AM \perp MN$ ... γ) Υπολογίστε την $\tan\theta , ( \theta=\widehat{MNC} )$ .

* Χρησιμοποιώ τον όρο "ημιτετράγωνο" αντί του όρου "τρίγωνο ορθογώνιο και ισοσκελές"

Η κάθετη στην

στο

τέμνει την

στο

οπότε, $\triangle PAD= \triangle NAB \Rightarrow PA=AN$ και PD=BN=NC

Έτσι, $PD=//CN \Rightarrow P,M,N$ συνευθειακά με

μέσον της

και $\triangle MAN$ ορθογώνιο-ισοσκελές

$DB=CS= 2BN=2PD \Rightarrow tan \theta = \dfrac{BN}{PB} = \dfrac{1}{3}$

: Ημιτετράγωνο.png (21.28 KiB) Προβλήθηκε 1372 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 31, 2019 9:16 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 30, 2019 7:42 pm
Ημιτετράγωνο.pngΔίπλα στο τετράγωνο σχεδιάσαμε το ημιτετράγωνο και ονομάσαμε

τα μέσα των αντίστοιχα . α) Δείξτε ότι

β) Δείξτε ότι $AM \perp MN$ ... γ) Υπολογίστε την $\tan\theta , ( \theta=\widehat{MNC} )$ .

* Χρησιμοποιώ τον όρο "ημιτετράγωνο" αντί του όρου "τρίγωνο ορθογώνιο και ισοσκελές"

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου. Από τα M, N

φέρνω παράλληλες στις AD, AB

αντίστοιχα που τέμνονται στο

: Ημιτετράγωνο.png (11.56 KiB) Προβλήθηκε 1335 φορές

Είναι $\displaystyle DM = MP = \frac{a}{2},PN = AD = a,$ οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα DAM, PNM

είναι ίσα, άρα:

α) $\boxed{AM=MN}$ και β) $\displaystyle D\widehat MA = P\widehat MN,D\widehat MP = 90^\circ \Rightarrow$ $\boxed{A\widehat MN=90^\circ}$

γ) $\displaystyle \omega + \theta = 45^\circ ,\tan \omega = \frac{1}{2} \Rightarrow {\mathop{\rm }\nolimits}$ $\boxed{\tan \theta = \frac{1}{3}}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 31, 2019 11:13 am**

Σχηματίζω και το τετράγωνο BSEC

και αν

το μέσο του

θα έχω:

$\vartriangle DAM = \vartriangle TMN$ ( ορθογώνια με κάθετες πλευρές ίσες ) με άμεσες συνέπειες :

: Ημιτετράγωνο.png (11.16 KiB) Προβλήθηκε 1318 φορές

α)

β) $\widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\xi _{}}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {AMN} = 90^\circ$

γ) Επειδή $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}} - 45^\circ \Rightarrow \boxed{\tan \theta = \frac{{\tan \omega - \tan 45^\circ }}{{1 + \tan \omega \cdot \tan 45^\circ }} = \frac{{2 - 1}}{{1 + 2}} = \frac{1}{3}}$

Παρατήρηση:

Δεν είδα καμιά λύση πριν "ανεβάσω" . Βλέπω σχεδόν ταύτιση με το φίλο μου το Γιώργο το Βισβίκη . Μου άρεσαν και όλες οι άλλες που διάβασα.

Όμως πιστεύω ότι Ο KARKAR

μου έδωσε υπόδειξη με τον τίτλο και με τη διευκρίνηση περί "ημιτετραγώνου"

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 31, 2019 12:04 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 30, 2019 7:42 pm
Ημιτετράγωνο.pngΔίπλα στο τετράγωνο σχεδιάσαμε το ημιτετράγωνο και ονομάσαμε

τα μέσα των αντίστοιχα . α) Δείξτε ότι

β) Δείξτε ότι $AM \perp MN$ ... γ) Υπολογίστε την $\tan\theta , ( \theta=\widehat{MNC} )$ .

* Χρησιμοποιώ τον όρο "ημιτετράγωνο" αντί του όρου "τρίγωνο ορθογώνιο και ισοσκελές"

Άλλη μια..σύντομη

Τα CMAL,MCNL

είναι ισοσκελή τραπέζια με τον ίδιο περίκυκλο και όλα τα ζητούμενα είναι προφανή

: Ημιτετράγωνο.png (21.28 KiB) Προβλήθηκε 1310 φορές

mathematica.gr

Ημιτετράγωνο

Ημιτετράγωνο

Re: Ημιτετράγωνο

Re: Ημιτετράγωνο

Re: Ημιτετράγωνο

Re: Ημιτετράγωνο

Re: Ημιτετράγωνο

Re: Ημιτετράγωνο

Re: Ημιτετράγωνο