Τέλειος κύβος από πρώτο

#1

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί

για τους οποίους ο 2p+1

είναι τέλειος κύβος.

Ας την αφήσουμε λίγο στους μαθητές μας καθώς είναι προσιτή άσκηση, χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία.

Ορέστης Λιγνός · #2

Γεια σας κύριε Μιχάλη.

Είναι $2p+1=x^3 \Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=2p$ .

Το

έχει τους εξής διαιρέτες 1,2,p,2p

Είναι

(ισοδυναμεί με την x^2+2>0

), οπότε έχουμε τρεις περιπτώσεις.

α) x-1=1, x^2+x+1=2p

.

Είναι x=2

και

, άτοπο.

β) x-1=2,x^2+x+1=p

, οπότε $x=3,\boxed{p=13}$ .

γ) x-1=p, x^2+x+1=2

οπότε

, που δεν έχει ακέραιες ρίζες.

#3

Πολύ ωραία.

Η δική μου λύση έχει την εξής παραλλαγή: Αφού 2p+1=x^3

έπεται ότι x^3

και άρα

περιττός. Έτσι η ισότητα 2p = (x-1)(x^2+x+1)

μας δίνει "αμέσως" x-1=2,x^2+x+1=p

, και λοιπά.