Ικανή απόσταση

KARKAR · #1

: Ικανή απόσταση.png (13.92 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές

Από σημείο

, εξωτερικό κύκλου (O,r)

, φέρουμε το ένα εφαπτόμενο τμήμα

και από το μέσο του , το

,

το άλλο εφαπτόμενο τμήμα

. Η

ξανατέμνει τον κύκλο στο

. Υπολογίστε το μέγιστο του (QPM)

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 14, 2025 4:17 pm
Από σημείο , εξωτερικό κύκλου , φέρουμε το ένα εφαπτόμενο τμήμα και από το μέσο του , το ,

το άλλο εφαπτόμενο τμήμα . Η ξανατέμνει τον κύκλο στο . Υπολογίστε το μέγιστο του .

: ikani apost.png (44.31 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές

.
Επειδή οι MP, MT

είναι εφαπτόμενες του κύκλου, έχουμε MP=MT=MS

, οπότε το τρίγωνο TPS

είναι ορθογώνιο με ορθή την $\widehat {P}$ . Άρα $\widehat {QPT}=90 ^o$ , που σημαίνει ότι η

είναι διάμετρος και άρα διέρχεται από το κέντρο

Του κύκλου. Συνεπώς η

είναι παράλληλη της

διότι συνδέει τα μέσα των πλευρών του TQS

. Άρα (αυτό είνα το κλειδί)

$(QPM)=(OPQ)=\dfrac {1}{2}r^2 \sin (\widehat {QOP})\le \dfrac {1}{2}r^2$ με ισότητα όταν $\widehat {QOP}=90^o$ .

Συνοψίζοντας $\boxed {(QPM)_{max} = \dfrac {1}{2}r^2 }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 14, 2025 4:17 pm
Ικανή απόσταση.pngΑπό σημείο , εξωτερικό κύκλου , φέρουμε το ένα εφαπτόμενο τμήμα και από το μέσο του , το ,

το άλλο εφαπτόμενο τμήμα . Η ξανατέμνει τον κύκλο στο . Υπολογίστε το μέγιστο του .

Είναι

άρα η γωνία QPT

είναι ορθή,συνεπώς T,O,Q

συνευθειακά

Επειδή OT=OP=r

και

η

είναι μεσοκάθετη

της

άρα

κι έστω

$(MQP)=max \Leftrightarrow (MQP)^2=max \Rightarrow$

$(MQP)^2= \dfrac{x^2.PQ^2}{4} = \dfrac{x^2(4r^2-4x^2)}{4}=x^2(r^2-x^2)$

Επειδή x^2+r^2-x^2=r^2=ct

το

γίνεται μέγιστο αν υπάρχει τιμή του x >0

ώστε

που ισχύει για $x= \dfrac{r \sqrt{2} }{2}$

Τότε $cos \theta = \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow \theta =45^0$ οπότε MS=MT=OT=r

και $OS= r \sqrt{5}$ ,

είναι δε $(MQP)_{max}= \dfrac{r^2}{2}$

: Ικανή απόσταση.png (37.77 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

Ικανή απόσταση

Ικανή απόσταση

Re: Ικανή απόσταση

Re: Ικανή απόσταση

Μέλη σε σύνδεση