Περίεργα ζητούμενα

KARKAR · #1

: Περίεργα ζητούμενα.png (16.08 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές

Στην οριζόντια διάμετρο του κύκλου : x^2+y^2=16

, θεωρούμε τα σημεία : A(-2 , 0) ,

. Βρήκαμε σημεία B , C

του κύκλου , ώστε : $\widehat{BAC}=90^0$ και AB<AC

.

Υπολογίστε το BC^2

και τις συντεταγμένες του μέσου

, του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 07, 2023 2:38 pm
Περίεργα ζητούμενα.pngΣτην οριζόντια διάμετρο του κύκλου : , θεωρούμε τα σημεία :

. Βρήκαμε σημεία του κύκλου , ώστε : $\widehat{BAC}=90^0$ και .

Υπολογίστε το και τις συντεταγμένες του μέσου , του τμήματος .

Έστω

Είναι, $\displaystyle {x^2} + {y^2} = O{M^2} = OH \cdot OD \Leftrightarrow$ $\boxed{x^2+y^2=2x}$ (1)

: Περίεργα ζητούμενα.png (17.18 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές

$\displaystyle A{M^2} = M{B^2} \Leftrightarrow O{H^2} + H{M^2} = O{B^2} - O{M^2} \Leftrightarrow {(2 + x)^2} + {y^2} = 16 - ({x^2} + {y^2})\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$

$\displaystyle 4 + 6x = 16 - 2x \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$ και $\boxed{M\left( {\frac{3}{2},\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}$

Εύκολα τώρα, $\displaystyle B{C^2} = 4M{B^2} = 4(16 - 2x) \Leftrightarrow$ $\boxed{BC^2=52}$

Για την ιστορία, $\displaystyle H\widehat OM = 30^\circ.$

KARKAR · #3

: Περίεργα ζητούμενα συνέχεια.png (13.33 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές

Μετακινούμε τώρα το

, οπότε μετακινείται και το

, ( αφού η

διέρχεται

από το σημείο

) . Υπολογίστε τώρα το άθροισμα : AB^2+AC^2+BC^2

.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 07, 2023 5:35 pm
Περίεργα ζητούμενα συνέχεια.pngΜετακινούμε τώρα το , οπότε μετακινείται και το , ( αφού η διέρχεται

από το σημείο ) . Υπολογίστε τώρα το άθροισμα : .

Πολύ καλό Θανάση Δεν μου είχε περάσει από το μυαλό ότι είναι σταθερό!!!

: Περίεργα ζητούμενα.β.png (16.19 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

Με θεώρημα διαμέσων διαδοχικά στα τρίγωνα BAD, CAD:

$\displaystyle A{B^2} + B{D^2} = 32 + 8 = 40 = A{C^2} + C{D^2}$

$\displaystyle BD \cdot DC = KD \cdot DL = 12$

$\displaystyle A{B^2} + A{C^2} + B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} + B{D^2} + C{D^2} + 2BD \cdot CD = 80 + 2 \cdot 12$

Άρα, $\boxed{AB^2+AC^2+BC^2=104}$

Γενίκευση: Σε κύκλο διαμέτρου θεωρούμε τα σημεία των αντίστοιχα, ώστε

Αν η χορδή διέρχεται από το τότε

Περίεργα ζητούμενα

Περίεργα ζητούμενα

Re: Περίεργα ζητούμενα

Re: Περίεργα ζητούμενα

Re: Περίεργα ζητούμενα

Μέλη σε σύνδεση