Ρητός λόγος

KARKAR · #1

: Ρητός λόγος.png (6.47 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

Στο ορθογώνιο τραπέζιο ABCD

, η πλευρά AB=d

είναι κάθετη προς τις βάσεις

AD=a , BC=b

. Από το μέσο

της

φέρουμε : $MS \perp CD$ .

α) Δείξτε ότι αν οι a , b , d

είναι ακέραιοι , ο λόγος : $\dfrac{CS}{SD}$ είναι ρητός .

β) Αν : d=8

, βρείτε ακέραιους a , b

, ώστε : $\dfrac{CS}{SD}=\dfrac{1}{3}$ .

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 03, 2023 8:02 am
Ρητός λόγος.pngΣτο ορθογώνιο τραπέζιο , η πλευρά είναι κάθετη προς τις βάσεις

. Από το μέσο της φέρουμε : $MS \perp CD$ .

α) Δείξτε ότι αν οι είναι ακέραιοι , ο λόγος : $\dfrac{CS}{SD}$ είναι ρητός .

β) Αν : , βρείτε ακέραιους , ώστε : $\dfrac{CS}{SD}=\dfrac{1}{3}$ .

$\displaystyle M{D^2} - M{C^2} = {a^2} + \frac{{{d^2}}}{4} - {b^2} - \frac{{{d^2}}}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{M{D^2} - M{C^2} = {a^2} - {b^2}}$ (1)

Στη συνέχεια βρίσκω

$\boxed{C{D^2} = {d^2} + {a^2} + {b^2} - 2ab}$ (2)

Φέρνω το ύψος από το

δεν φαίνεται στο σχήμα

και εφαρμόζω Π.Θ

.

: Ρητός λόγος.Κ.png (9.11 KiB) Προβλήθηκε 679 φορές

α) $\displaystyle M{D^2} - M{C^2} = S{D^2} - C{S^2}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} {a^2} - {b^2} = CD(SD - CS) \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{CD}} = SD - CS.$ Είναι λοιπόν,

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} SD - CS = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{CD}} \hfill \\ \hfill \\ SD + CS = CD \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 2CS = \frac{{C{D^2} - {a^2} + {b^2}}}{{CD}} \hfill \\ \hfill \\ 2SD = \frac{{C{D^2} + {a^2} - {b^2}}}{{CD}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{(2)}$ $\boxed{\frac{{CS}}{{SD}} = \frac{{{d^2} - 2b(a - b)}}{{{d^2} + 2a(a - b)}}}$ που είναι ρητός.

β) Υποθέτω ότι a>b.

Είναι, $\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{{64 - 2b(a - b)}}{{64 + 2a(a - b)}} \Leftrightarrow (a - b)(a + 3b) = 64$ κι επειδή οι a,b

είναι ακέραιοι

και a+3b>a-b,

θα είναι

απ' όπου $\boxed{a=7, b=3}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 03, 2023 8:02 am
Ρητός λόγος.pngΣτο ορθογώνιο τραπέζιο , η πλευρά είναι κάθετη προς τις βάσεις

. Από το μέσο της φέρουμε : $MS \perp CD$ .

α) Δείξτε ότι αν οι είναι ακέραιοι , ο λόγος : $\dfrac{CS}{SD}$ είναι ρητός .

β) Αν : , βρείτε ακέραιους , ώστε : $\dfrac{CS}{SD}=\dfrac{1}{3}$ .

Φέρνω τη διάμεσο

του τραπεζίου ABCD

και την προβολή

του

στη μεγάλη βάση AD = a

.

Τα τρίγωνα $KDC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SNM$ είναι όμοια . Θέτω MS = x

και προκύπτει :

$SN = \dfrac{{\left( {a - b} \right)x}}{d}\,\,\left( 1 \right)$ .
Το εμβαδόν του τραπεζίου είναι : $MS \cdot CD = \dfrac{{\left( {a + b} \right)d}}{2} \Rightarrow x = \dfrac{{\left( {a + b} \right)d}}{{2CD}}$ $\left( 2 \right)$

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle KDC$ έχω : $\boxed{C{D^2} = {d^2} + {{\left( {a - b} \right)}^2}\,}\,\left( 3 \right)$

$\left( 1 \right)$ λόγω της $\left( 2 \right)$ δίδει: $SN = \dfrac{{a - b}}{d} \cdot \dfrac{{\left( {a + b} \right)d}}{{2CD}} \Leftrightarrow \boxed{SN = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{2CD}}}\,\,\left( {\,4} \right)$

: Ρητός λόγος_Ανάλυση.png (11.54 KiB) Προβλήθηκε 632 φορές

Ο λόγος που θέλω , λόγω της $\left( 4 \right)$ ,γράφεται : $\lambda = \dfrac{{\frac{{CD}}{2} - SN}}{{\dfrac{{CD}}{2} + SN}} = \dfrac{{C{D^2} - \left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}{{C{D^2} + \left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}$

που λόγω της $\left( 2 \right)$ δίδει : $\boxed{\lambda = \dfrac{{2{b^2} + {d^2} - 2ab}}{{2{a^2} + {d^2} - 2ab}}}$ ( ρητός)

Αν d = 8

προκύπτει : $\left( {a - b} \right)\left( {a + 3b} \right) = {2^6} = {2^2} \cdot {2^4} \Rightarrow a = 7\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = 3$

Οι άλλοι συνδυασμοί δεν δίδουν δεκτά αποτελέσματα .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 03, 2023 8:02 am
Ρητός λόγος.pngΣτο ορθογώνιο τραπέζιο , η πλευρά είναι κάθετη προς τις βάσεις

. Από το μέσο της φέρουμε : $MS \perp CD$ .

α) Δείξτε ότι αν οι είναι ακέραιοι , ο λόγος : $\dfrac{CS}{SD}$ είναι ρητός .

β) Αν : , βρείτε ακέραιους , ώστε : $\dfrac{CS}{SD}=\dfrac{1}{3}$ .

Από Π.Θ στο τρίγωνο CED

παίρνουμε

.

Ακόμη $MD^2=\dfrac{d^2}{4} +a^2$ και $CD^2=\dfrac{d^2}{4} +b^2$

Τα τρίγωνα BSA,CMD

προφανώς είναι όμοια ,συνεπώς $\dfrac{SA^2}{MD^2}= \dfrac{d^2}{CD^2} \Rightarrow SA^2=d^2 \dfrac{ \dfrac{d^2}{4}+ a^2}{(a-b)^2+d^2}$

και $\dfrac{SB^2}{MC^2}= \dfrac{d^2}{CD^2} \Rightarrow SB^2=d^2 \dfrac{ \dfrac{d^2}{4}+ b^2}{(a-b)^2+d^2}$

$SA^2-SB^2=2dMT \Rightarrow MT= \dfrac{SA^2-SB^2}{2d}=... \dfrac{d}{2} \dfrac{a^2-b^2}{(a-b)^2+d^2}$ άρα $BT=MB-MT= \dfrac{d}{2} (1- \dfrac{a^2-b^2}{(a-b^2)+d^2}$

$AT=AM+MT= \dfrac{d}{2} (1+ \dfrac{a^2-b^2}{(a-b^2)+d^2}$

Τώρα, $\dfrac{CS}{SD}= \dfrac{TB}{TA}=.... \dfrac{2b^2+d^2-2ad}{2a^2+d^2-2ad}$ που είναι ρητός

Για το δεύτερο,τα είπαν ωραία οι προλαλήσαντες...

: ρητός λόγος.png (27.08 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Ρητός λόγος

Ρητός λόγος

Re: Ρητός λόγος

Re: Ρητός λόγος

Re: Ρητός λόγος

Re: Ρητός λόγος

Μέλη σε σύνδεση