Το λιγότερο δυνατόν

KARKAR · #1

: Το λιγότερο δυνατό.png (7.79 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές

Οι κάθετες πλευρές OA , OB

του ορθογωνίου τριγώνου OAB

είναι μεν μεταβλητές , έχουν όμως σταθερό

άθροισμα : OA+OB=8

. α) Δείξτε ότι η μεσοκάθετη της

, διέρχεται από σταθερό σημείο

.

β) Αν η μεσοκάθετη αυτή , τέμνει την

στο σημείο

, υπολογίστε το $(SATB)_{min}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 07, 2021 10:36 am
Το λιγότερο δυνατό.pngΟι κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου είναι μεν μεταβλητές , έχουν όμως σταθερό

άθροισμα : . α) Δείξτε ότι η μεσοκάθετη της , διέρχεται από σταθερό σημείο .

β) Αν η μεσοκάθετη αυτή , τέμνει την στο σημείο , υπολογίστε το $(SATB)_{min}$ .

α) Στην προέκταση του

θεωρώ σημείο

ώστε

Η μεσοκάθετος του

τέμνει την μεσοκάθετο

του

στο

Θα δείξω ότι το

είναι το ζητούμενο σημείο. Είναι SA=SB, SO=SP, AP=OB,

άρα

τα τρίγωνα SAP, SBO

είναι ίσα, οπότε $O\widehat BS=S\widehat AP$ και το OASB

είναι εγγράψιμο, απ' όπου προκύπτουν

οι γωνίες των $45^\circ$ που φαίνονται στο σχήμα. Δηλαδή το

είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του OP=8

με τη

διχοτόμο της γωνίας $A\widehat OB$ και είναι προφανώς σταθερό.

: Το λιγότερο δυνατόν.png (18.38 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές

β) $\displaystyle (SATB) = (OASB) - (OTB) = (SOP) - (OTB) = 16 - (OTB)$

Άρα το (SATB)

ελαχιστοποιείται όταν το (OTB)

γίνει μέγιστο, δηλαδή όταν το τρίγωνο γίνει ορθογώνιο και

ισοσκελές. Οπότε $\displaystyle OT = OB = x.$ Αλλά, $\displaystyle OA + AP = 8 \Leftrightarrow x + x\sqrt 2 + x = 8 \Leftrightarrow x = 4(2 - \sqrt 2 )$

$\displaystyle {(SATB)_{\min }} = 16 - \frac{{16}}{2}{(2 - \sqrt 2 )^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{{(SATB)_{\min }} = 32(\sqrt 2 - 1)}$

Το λιγότερο δυνατόν

Το λιγότερο δυνατόν

Re: Το λιγότερο δυνατόν

Μέλη σε σύνδεση