Μέγιστη δύναμη του 3.

#1

Ποια είναι η μέγιστη δύναμη του $\displaystyle{3}$ που διαιρεί τον αριθμό $\displaystyle{5^{18}-2^{18}}$ ;

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Μια λύση εκτός φακέλου:

Αφού 3^2||18

και

, έχουμε από το LTE

πως $3^{2+1}||5^{18}-2^{18}\Leftrightarrow 3^3||5^{18}-2^{18}$ .

Η μέγιστη δύναμη λοιπόν είναι το 3^3

.

#3

Όντως, Διονύση. Το LTE το τελειώνει αμέσως.

Θα ήθελα να δω και μια απόδειξη πιο κοντά στο επίπεδο του Θαλή/Ευκλείδη Λυκείου

#4

matha έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 24, 2017 8:09 pm
Ποια είναι η μέγιστη δύναμη του $\displaystyle{3}$ που διαιρεί τον αριθμό $\displaystyle{5^{18}-2^{18}}$ ;

Ας αρχίσουμε γενικότερα:

$\displaystyle{x^{18}-y^{18}= (x^{9}-y^{9})(x^{9}+y^{9})}$ και το $\displaystyle{x^{9}-y^{9} = (x^{3}-y^{3})(x^{6}+x^3y^3+y^{6})= (x-y)(x^{2}+xy+y^2})(x^{6}+x^3y^3+y^{6}) }$ και όμοια το $\displaystyle{ x^{9}+y^{9} }$ . Τελικά

$\displaystyle{x^{18}-y^{18}= (x-y)(x+y)(x^{2}-xy+y^2})(x^{2}+xy+y^2})(x^{6}-x^3y^3+y^{6})(x^{6}+x^3y^3+y^{6})}$

Με x=5, y=2

και χρήση των $\displaystyle{x^6=15625, \, 2^6= 64}$ βρίσκουμε

$\displaystyle{5^{18}-2^{18}= (3)(7)(19)(39)(14689)(16689)}$

Υπάρχει ένα

στο

και από κριτήρια διαιρετότητας του

και

βρίσκουμε ότι ο 166689

είναι πολλαπλάσιο του

αλλά όχι του

.

Τελικά το

εμφανίζεται ως 3^3

, που απαντά στο ερώτημα.

Με κομπιουτεράκι επιβεβαίωσα την ανάλυση σε πρώτους $\displaystyle{5^{18}-2^{18}= (3^3)(7)(13)(19)(37)(397)(5563)}$ .

Αργότερα θα βάλω άλλη λύση, με ανάπτυγμα διωνύμου.

Edit: Διόρθωσα τυπογραφικό που μου επεσήμανε ο Θάνος (matha), τον οποίο ευχαριστώ.

#5

Είναι $5^{18}-2^{18}=(5^9-2^9)(5^9+2^9)=(5^3-2^3)(5^6+5^32^3+2^6)(5^9+2^9)$

Αφού $5\equiv 2\equiv -1\pmod 3$ είναι

$5^9+2^9 \equiv (-1)^9+(-1)^9 \equiv 1 \pmod{3}$ ,

κι άρα o 5^9+2^9

δεν διαιρείται από το 3.

Επίσης, αφού $5^3\equiv 2^3\equiv -1\pmod 9$ είναι

$5^6+5^32^3+2^6 \equiv (-1)^2+(-1) (-1) +(-1)^2\equiv 3 \pmod{9}$ ,

που σημαίνει ότι o

διαιρείται από το 3, αλλά όχι από το 9.

Τέλος, είναι $5^3-2^3=3^2\cdot 13$ .

Συνεπώς, η μέγιστη δύναμη του 3 που διαιρεί τον αριθμό $5^{18}-2^{18}$ είναι 3^3.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#6

Από το ανάπτυγμα του διωνύμου $(a+b)^{18}$ κρατάμε τους

τελευταίους όρους, όσους δηλαδή έχουν εκθέτη του

μικρότερο ή ίσο του

.

Θα δώσει για κάποιον ακέραιο

ότι

$\displaystyle{(a+b)^{18}= Aa^4+ \frac {18\cdot 17 \cdot 16}{6} a^3b^{15} +\frac {18\cdot 17 }{2} a^2b^{16} + 18ab^{17} + b^{18}= }$

$\displaystyle{=Aa^4+ 3 \cdot 17 \cdot 16 a^3b^{15} +9\cdot 17 a^2b^{16} + 18ab^{17} + b^{18}}$

Που για a=3, b=2

γίνεται, για κάποιον ακέραιο

, της μορφής

$\displaystyle{5^ {18}=(3+2)^{18}= 3^4B+ + 2 \cdot 3^3\cdot 2^{17} + 2^{18}= 3^4B+ 3^3\cdot 2^{18} + 2^{18}}$

Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι η μεγαλύτερη δύναμη του

στο $\displaystyle{5^ {18}-2^{18} = 3^4B+ 3^3\cdot 2^{18} }$ είναι η 3^3

Μέγιστη δύναμη του 3.

Μέγιστη δύναμη του 3.

Re: Μέγιστη δύναμη του 3.

Re: Μέγιστη δύναμη του 3.

Re: Μέγιστη δύναμη του 3.

Re: Μέγιστη δύναμη του 3.

Re: Μέγιστη δύναμη του 3.

Μέλη σε σύνδεση