mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 21, 2025 6:33 am**

: Κι αυτές κάθετες.png (29.48 KiB) Προβλήθηκε 608 φορές

Ο κύκλος

διέρχεται από το κέντρο του κύκλου (O)

και τον τέμνει στα σημεία

και

.

Από σημείο

του

φέρω το εφαπτόμενο προς τον (O)

τμήμα

και την

, η οποία

τέμνει την

στο σημείο

. Να δειχθεί ότι : $PT \perp OS$ .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 21, 2025 8:20 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 21, 2025 6:33 am
Κι αυτές κάθετες.pngΟ κύκλος διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και τον τέμνει στα σημεία και .

Από σημείο του φέρω το εφαπτόμενο προς τον τμήμα και την , η οποία

τέμνει την στο σημείο . Να δειχθεί ότι : $PT \perp OS$ .

: kai aftes kathetes.png (29.57 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές

Για να δείξουμε ότι το

είναι ύψος του ορθογωνίου τριγώνου OPS

αρκεί να δείξουμε ότι $SP^2= ST\cdot SO$ .

Έχουμε πρώτα απ' όλα από την δύναμη του σημείου

στον μεγάλο κύκλο $ST\cdot OT= AT\cdot TB$ ίσον η δύναμη του σημείου

στον μικρό κύκλο =R^ 2 -OT^2

, όπου

η ακτίνα του μικρoύ κύκλου. Άρα $ST\cdot OT= R^ 2 -OT^2$ (*). Έχουμε τότε από Πυθαγόρειο

$SP^2 = SO^2-OP^2= (ST+OT)^2-R^2= ST^2+ST\cdot OT+ (ST\cdot OT+ OT^2-R^2)= ^{apo \, (*)}$

$=ST^2+ST\cdot OT=ST(ST+OT)= ST \cdot SO$ , όπως θέλαμε

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 21, 2025 10:43 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 21, 2025 6:33 am
Κι αυτές κάθετες.pngΟ κύκλος διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και τον τέμνει στα σημεία και .

Από σημείο του φέρω το εφαπτόμενο προς τον τμήμα και την , η οποία

τέμνει την στο σημείο . Να δειχθεί ότι : $PT \perp OS$ .
[/quot

Το τετράπλευρο $A\Theta OT$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο γιατί

$\hat{O\Theta A}=\hat{OA\Theta }=\hat{SIO} =\hat{OTJ}$ ,

εφόσον τα τετράπλευρα είναι εγράψιμα

$SA.S\Theta =ST.SO,SP^{2}=SA.S\Theta \Rightarrow SP^{2}=ST.SO\Rightarrow \hat{PTS}=90^{0}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 21, 2025 4:23 pm**

Αν οι κύκλοι (OPS)

και

τέμνονται ξανά στο

τότε οι ευθείες OS,AB,PX

συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των

κύκλων (OPS),(O,OA),(K,KA)

οπότε

συνευθειακά.

Επειδή η

εφάπτεται του κύκλου (O,OA)

στο

είναι $PS\perp OP$ οπότε ο κύκλος (OPSX)

έχει διάμετρο

άρα και η

εφάπτεται του κύκλου (O,OA)

οπότε $PX\perp OS$

δηλαδή $\overline {PTX}\perp OS$

: Καθετότητα από ριζικούς άξονες.png (407.72 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 21, 2025 9:18 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 21, 2025 6:33 am
Κι αυτές κάθετες.pngΟ κύκλος διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και τον τέμνει στα σημεία και .

Από σημείο του φέρω το εφαπτόμενο προς τον τμήμα και την , η οποία

τέμνει την στο σημείο . Να δειχθεί ότι : $PT \perp OS$ .