mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 13, 2025 1:04 pm**

: Ελάχιστο άθροισμα τετραγώγων.png (13.55 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC

πλευράς

και το τετράγωνο ACDE

έξω από το ισόπλευρο. Το σημείο

κινείται στο τμήμα DE.

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του SB^2+SC^2,

καθώς και τη θέση του

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 13, 2025 6:39 pm**

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 13, 2025 1:04 pm
Ελάχιστο άθροισμα τετραγώγων.png
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς και το τετράγωνο έξω από το ισόπλευρο. Το σημείο

κινείται στο τμήμα Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του καθώς και τη θέση του

Στο τρίγωνο SBC

, αν

είναι το μέσο της

είναι $SB^2 +SC^2 =2 SM^2 +\frac{BC^2}{2} = 2 SM^2 +\frac{a^2}{2}$
Οπότε το άθροισμα θα γίνει ελάχιστο όταν ελαχιστοποιηθεί η απόσταση

, δηλαδή όταν το

είναι κάθετο στο

.
Αν φέρουμε

κάθετο στο

, το

είναι το μέσο του

και $BT= \frac{a \sqrt3}{2}+a$ και από το τραπέζιο BTDC

έχουμε $SM=\frac{(4+\sqrt3)a}{4}$ οπότε $SB^2 +SC^2 =\frac{(23+8\sqrt3)a^2}{8}$ είναι η ζητούμενη ελάχιστη τιμή , και η θέση
του

είναι $DS=\frac{DE}{4}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 13, 2025 6:52 pm**

Νομίζω είναι μία καλή άσκηση β Λυκείου αλλά όχι Θαλής Ευκλείδης seniors .Ποιό είναι το ελάχιστο άθροισμα θα ήταν κατά τη γνώμη μου πιο κοντά στα θέματα επιπέδου Θαλής Ευκλείδης seniors .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 15, 2025 11:47 am**

Ευχαριστώ τον Νίκο για τη λύση του. Η δική μου λύση είναι ακριβώς ίδια.

αρψ2400 έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 13, 2025 6:52 pm
Νομίζω είναι μία καλή άσκηση β Λυκείου αλλά όχι Θαλής Ευκλείδης seniors .Ποιό είναι το ελάχιστο άθροισμα θα ήταν κατά τη γνώμη μου πιο κοντά στα θέματα επιπέδου Θαλής Ευκλείδης seniors .

Η άσκηση δεν μπήκε στη Β Λυκείου, επειδή χρειάστηκα, όπως και ο Νίκος, το θεώρημα διαμέσων που είναι εκτός ύλης.

Ας βρούμε όμως τώρα την ελάχιστη τιμή του SB+SC,

όπως προτείνει το μέλος μας αρψ2400.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 15, 2025 3:05 pm**

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 15, 2025 11:47 am
Ευχαριστώ τον Νίκο για τη λύση του. Η δική μου λύση είναι ακριβώς ίδια.

αρψ2400 έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 13, 2025 6:52 pm
Νομίζω είναι μία καλή άσκηση β Λυκείου αλλά όχι Θαλής Ευκλείδης seniors .Ποιό είναι το ελάχιστο άθροισμα θα ήταν κατά τη γνώμη μου πιο κοντά στα θέματα επιπέδου Θαλής Ευκλείδης seniors .
Η άσκηση δεν μπήκε στη Β Λυκείου, επειδή χρειάστηκα, όπως και ο Νίκος, το θεώρημα διαμέσων που είναι εκτός ύλης.

Ας βρούμε όμως τώρα την ελάχιστη τιμή του όπως προτείνει το μέλος μας αρψ2400.

Τότε καλά κάνατε.Δεν μου πέρασε από το μυαλό ότι μπορεί να έχει βγει το θεώρημα διαμέσων .Έχω κάποια χρόνια να κάνω στο Λύκειο.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 25, 2025 5:36 pm**

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 15, 2025 11:47 am
Ευχαριστώ τον Νίκο για τη λύση του. Η δική μου λύση είναι ακριβώς ίδια.

αρψ2400 έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 13, 2025 6:52 pm
Νομίζω είναι μία καλή άσκηση β Λυκείου αλλά όχι Θαλής Ευκλείδης seniors .Ποιό είναι το ελάχιστο άθροισμα θα ήταν κατά τη γνώμη μου πιο κοντά στα θέματα επιπέδου Θαλής Ευκλείδης seniors .
Η άσκηση δεν μπήκε στη Β Λυκείου, επειδή χρειάστηκα, όπως και ο Νίκος, το θεώρημα διαμέσων που είναι εκτός ύλης.

Ας βρούμε όμως τώρα την ελάχιστη τιμή του όπως προτείνει το μέλος μας αρψ2400.

Ένα τετράγωνο ακόμα βοηθάει αρκετά. SB +SC = SB+ SF < BF .To BF υπολογίζεται με πυθαγόρειο θεώρημα.

mathematica.gr

Ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων

Ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων

Re: Ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων

Re: Ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων

Re: Ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων

Re: Ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων

Re: Ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων