Συντρέχουν: Διάμεσος διχοτόμος και ύψος από διαφορετικές κορυφές

#1

Να κατασκευαστεί σκαληνό μη ορθογώνιο τρίγωνο ABC

του οποίου γνωρίζουμε :

Την πλευρά AB = c

, την γωνία $B = \theta$ , επί πλέον δε ότι η διάμεσος από το

, η διχοτόμος από το

και το ύψος από το

συντρέχουν .

( Ευκλείδεια κατασκευή χωρίς τριγωνομετρικές συνθήκες )

KARKAR · #2

: Κατασκευή Κρητική.png (14 KiB) Προβλήθηκε 831 φορές

Από Ceva : $\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{a}{c}$ . Φέρω κάθετη στο

προς την

, η οποία τέμνει την ευθεία της βάσης

στο σημείο

. Θεωρώ τμήμα SC=AB

. Νάτο και το

! Απόδειξη απλή . Διερεύνηση ....

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 24, 2021 1:53 pm
Κατασκευή Κρητική.pngΑπό Ceva : $\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{a}{c}$ . Φέρω κάθετη στο προς την , η οποία τέμνει την ευθεία της βάσης

στο σημείο . Θεωρώ τμήμα . Νάτο και το ! Απόδειξη απλή . Διερεύνηση ....

Κι εγώ την ίδια κατασκευή έκανα αλλά όχι τόσο γρήγορα σαν και σένα

#4

: Δ.Υ.Δ.png (13.88 KiB) Προβλήθηκε 793 φορές

Κατασκευή: Κατασκευάζω ορθογώνιο τρίγωνο ABH

με υποτείνουσα AB=c

και $\widehat B=\theta.$ Επί της

θεωρώ σημείο

ώστε

και φέρνω από το

κάθετο στην

που τέμνει την

στην τρίτη κορυφή

του ζητούμενου τριγώνου

Απόδειξη: Φέρνω τη διχοτόμο

και τη διάμεσο AM.

Το τρίγωνο έχει εκ κατασκευής AB=c,

$\widehat B=\theta$

και ύψος CE.

Αρκεί να δείξω ότι οι AM, BD, CE

συντρέχουν. Τα τρίγωνα ABH, CBE

είναι όμοια, άρα:

$\displaystyle \frac{{BH}}{{BE}} = \frac{c}{a} \Leftrightarrow \frac{{AE}}{{BE}} = \frac{c}{a} = \frac{{AD}}{{DC}}$ και η απόδειξη ολοκληρώνεται με το αντίστροφο του $\rm Ceva.$

Διερεύνηση: Για να υπάρχει λύση πρέπει να κατασκευάζεται το ορθογώνιο τρίγωνο ABH,

δηλαδή η γωνία $\theta$ να είναι οξεία.

(Εξάλλου, το ύψος

δεν θα μπορούσε να διέρχεται από το σημείο τομής των AM, BD

αν η γωνία $\theta$ δεν ήταν οξεία).

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 24, 2021 6:03 pm
Δ.Υ.Δ.png
Κατασκευή: Κατασκευάζω ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα και $\widehat B=\theta.$ Επί της θεωρώ σημείο

ώστε και φέρνω από το κάθετο στην που τέμνει την στην τρίτη κορυφή του ζητούμενου τριγώνου

Απόδειξη: Φέρνω τη διχοτόμο και τη διάμεσο Το τρίγωνο έχει εκ κατασκευής $\widehat B=\theta$

και ύψος Αρκεί να δείξω ότι οι συντρέχουν. Τα τρίγωνα είναι όμοια, άρα:

$\displaystyle \frac{{BH}}{{BE}} = \frac{c}{a} \Leftrightarrow \frac{{AE}}{{BE}} = \frac{c}{a} = \frac{{AD}}{{DC}}$ και η απόδειξη ολοκληρώνεται με το αντίστροφο του $\rm Ceva.$

Διερεύνηση: Για να υπάρχει λύση πρέπει να κατασκευάζεται το ορθογώνιο τρίγωνο δηλαδή η γωνία $\theta$ να είναι οξεία.

(Εξάλλου, το ύψος δεν θα μπορούσε να διέρχεται από το σημείο τομής των αν η γωνία $\theta$ δεν ήταν οξεία).

Πλήρης και ωραία

Συντρέχουν: Διάμεσος διχοτόμος και ύψος από διαφορετικές κορυφές

Συντρέχουν: Διάμεσος διχοτόμος και ύψος από διαφορετικές κορυφές

Re: Συντρέχουν: Διάμεσος διχοτόμος και ύψος από διαφορετικές κορυφές

Re: Συντρέχουν: Διάμεσος διχοτόμος και ύψος από διαφορετικές κορυφές

Re: Συντρέχουν: Διάμεσος διχοτόμος και ύψος από διαφορετικές κορυφές

Re: Συντρέχουν: Διάμεσος διχοτόμος και ύψος από διαφορετικές κορυφές

Μέλη σε σύνδεση