Εμβαδά άμεσης δράσης

#1

: Εμβαδά άμεσης δράσης.png (25.12 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές

Με διάμετρο την πλευρά

οξυγώνιου τριγώνου ABC

γράφω ημικύκλιο εκτός του τριγώνου και ονομάζω A_1

το σημείο

τομής του με το το ύψος από την κορυφή

Ανάλογα ορίζονται τα σημεία B_1, C_1.

Συμβολίζω τα εμβαδά των τριγώνων

A_1BC,

με

αντίστοιχα. Αν (ABC)=10,

να βρείτε το άθροισμα $\displaystyle {E_a}^2 + {E_b}^2 + {E_c}^2.$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 05, 2019 4:38 pm
Εμβαδά άμεσης δράσης.png
Με διάμετρο την πλευρά οξυγώνιου τριγώνου γράφω ημικύκλιο εκτός του τριγώνου και ονομάζω το σημείο

τομής του με το το ύψος από την κορυφή Ανάλογα ορίζονται τα σημεία Συμβολίζω τα εμβαδά των τριγώνων

με αντίστοιχα. Αν να βρείτε το άθροισμα $\displaystyle {E_a}^2 + {E_b}^2 + {E_c}^2.$

Καλησπέρα!

: 180.PNG (47.8 KiB) Προβλήθηκε 742 φορές

Έστω

το ορθόκεντρο του ABC

,

η προβολή του

στην

και

μέσον της

.Από κριτήριο καθετότητας και πυθαγόρειο παίρνουμε $\left\{\begin{matrix} &AB_1^2-B_1C^2=HA^2-HC^2 & \\ & AB_1^2+B1_C^2=AC^2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2AB_1^2=HA^2-HC^2+b^2$

Από το δεύτερο θεώρημα διαμέσων στο HAC

παίρνουμε $HC^2-HA^2=2b\cdot \left ( \dfrac{b}{2}-c\cos \angle A \right )=2b\left ( \dfrac{b}{2}-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2b} \right )=2b\dfrac{a^2-c^2}{2b}=a^2-c ^2$ άρα $2AB_1^2=b^2+c^2-a^2\Rightarrow AB_1^2=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}$
Όμοια προκύπτει ότι $B_1C^2=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}$ και έτσι $E_B^2=\dfrac{1}{4}\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}\cdot \dfrac{c^2+b^2-a^2}{2}=\dfrac{2a^2c^2+b^4-a^4-c^4}{16}$
Όμοια έχουμε :
$E_A^2+E_B^2+E_C^2=\dfrac{2b^2c^2+a^4-b^4-c^4}{16}+\dfrac{2a^2c^2+b^4-a^4-c^4}{16}+\dfrac{2a^2b^2+c^4-a^4-b^4}{16}\overset{\textrm{De\,\,moivre}}{=}...=\dfrac{2s\cdot 2\left ( s-a \right )\cdot 2\left ( s-b \right )\cdot 2\left (s-c \right )}{16}=s(s-a)(s-b)(s-c)=\left ( ABC \right )^2=100$
με $s=\dfrac{a+b+c}{2}$

ksofsa · #3

Καλησπέρα!

Άλλη μια λύση:

Εχω

το ορθόκεντρο του ABC

και

οι πόδες των υψών.

Είναι :

$\dfrac{E_{a}^2}{(ABC)^2}=\dfrac{DA_{1}^2}{h_{a}^2}=\dfrac{BD\cdot CD}{h_{a}^2}=\dfrac{h_{a}\cdot DH}{h_{a}^2}=\dfrac{DH}{h_{a}}=\dfrac{DH\cdot a}{h_{a}a}=\dfrac{(BHC)}{(ABC)}$

Αρα

$\dfrac{E_{a}^2+E_{b}^2+E_{c}^2}{(ABC)^2}=\dfrac{(AHB)+(BHC)+(CHA)}{(ABC)}=1\Rightarrow E_{a}^2+E_{b}^2+E_{c}^2=100$

#4

ksofsa έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 05, 2019 8:29 pm
Καλησπέρα!

Άλλη μια λύση:

Εχω το ορθόκεντρο του και οι πόδες των υψών.

Είναι :

$\dfrac{E_{a}^2}{(ABC)^2}=\dfrac{DA_{1}^2}{h_{a}^2}=\dfrac{BD\cdot CD}{h_{a}^2}=\dfrac{h_{a}\cdot DH}{h_{a}^2}=\dfrac{DH}{h_{a}}=\dfrac{DH\cdot a}{h_{a}a}=\dfrac{(BHC)}{(ABC)}$

Αρα

$\dfrac{E_{a}^2+E_{b}^2+E_{c}^2}{(ABC)^2}=\dfrac{(AHB)+(BHC)+(CHA)}{(ABC)}=1\Rightarrow E_{a}^2+E_{b}^2+E_{c}^2=100$

Πολύ ωραίο Κώστα

(Αυτό είχα υπόψη μου).

Εμβαδά άμεσης δράσης

Εμβαδά άμεσης δράσης

Re: Εμβαδά άμεσης δράσης

Re: Εμβαδά άμεσης δράσης

Re: Εμβαδά άμεσης δράσης

Μέλη σε σύνδεση