Δύσκολη διχοτόμηση

KARKAR · #1

: Δύσκολη διχοτόμηση.png (11.3 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές

Πάνω στην κάθετη στο άκρο

, της διαμέτρου AOB=2r

, ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο

.

Φέρουμε τα τμήματα SO , SB

και το εφαπτόμενο

. Για ποια θέση του

είναι : $\widehat{PSB}=\widehat{OSB}$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 10, 2025 9:57 pm
Δύσκολη διχοτόμηση.pngΠάνω στην κάθετη στο άκρο , της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο .

Φέρουμε τα τμήματα και το εφαπτόμενο . Για ποια θέση του είναι : $\widehat{PSB}=\widehat{OSB}$ ;

Η

τέμνει την

στο

Θέτω

και από θεώρημα διχοτόμου έχω:

$\displaystyle \frac{y}{{OK}} = \frac{x}{{SO}} \Leftrightarrow \frac{y}{{r - y}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {r^2}} }} \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{{rx}}{{\sqrt {{x^2} + {r^2}} + x}}}$ (1)

: Δύσκολη διχοτόμηση.png (14.87 KiB) Προβλήθηκε 221 φορές

Είναι ακόμα, $\displaystyle \tan \theta = \frac{y}{x},\tan 2\theta = \frac{r}{x},\tan 3\theta = \frac{{2r}}{x}$ και από τον τύπο $\displaystyle \tan 3\theta = \frac{{\tan 2\theta + \tan \theta }}{{1 - \tan \theta \tan 2\theta }},$

παίρνω $\displaystyle y = \frac{{r{x^2}}}{{{x^2} + 2{r^2}}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{x}{{{x^2} + 2{r^2}}} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {r^2}} + x}} \Leftrightarrow {x^4} + {r^2}{x^2} - {r^4} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{ x = r\sqrt {\frac{{\sqrt {17} - 1}}{2}}}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 10, 2025 9:57 pm
Δύσκολη διχοτόμηση.pngΠάνω στην κάθετη στο άκρο , της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο .

Φέρουμε τα τμήματα και το εφαπτόμενο . Για ποια θέση του είναι : $\widehat{PSB}=\widehat{OSB}$ ;

Έστω

Για τις γωνίες

$\hat{AST}=ω\hat{GSA}=\hat{TSO}=\hat{OSB}=\hat{BSP}$

Θ.Διχοτόμου στα τρίγωνα

$GSB,ASO,TSB,\dfrac{4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\dfrac{(2r-y)^{2}}{x^{2}+4r^{2}},(1), \dfrac{y^{2}}{x^{2}}= \dfrac{(r-y)^{2}}{x^{2}+r^{2}},(2), \dfrac{(r-y)^{2}}{x^{2}+y^{2}} =\dfrac{r^{2}}{x^{2}+4r^{2}},(3)$

$\dfrac{(1)}{(3)}\Rightarrow \dfrac{2y}{r-y}=\dfrac{2r-y}{r}\Leftrightarrow y^{2}-5ry+2r^{2}=0 \Leftrightarrow \dfrac{y}{r} =\dfrac{5-\sqrt{17}}{2},(4), (4) ,(2)\Rightarrow \dfrac{x^{2}}{r^{2}}=\dfrac{\sqrt{17}-1}{4}\ x=r\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}$

Δύσκολη διχοτόμηση

Δύσκολη διχοτόμηση

Re: Δύσκολη διχοτόμηση

Re: Δύσκολη διχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση