Επτά προς τρία

KARKAR · #1

: Επτά προς τρία.png (30.12 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

Στο τρίγωνο ABC

είναι :

. Επί του ύψους

θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε :

KA < KD

και γράφουμε τον κύκλο (K , KA)

ο οποίος τέμνει την

στο

. Η

ξανατέμνει τον κύκλο στο

σημείο

, ενώ η

τέμνει την

στο σημείο

. Βρείτε την ακτίνα KA=r

του κύκλου , αν : DS=2

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 17, 2025 10:02 am
Επτά προς τρία.pngΣτο τρίγωνο είναι : . Επί του ύψους θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

και γράφουμε τον κύκλο ο οποίος τέμνει την στο . Η ξανατέμνει τον κύκλο στο

σημείο , ενώ η τέμνει την στο σημείο . Βρείτε την ακτίνα του κύκλου , αν : .

$\widehat {AEZ} = \widehat {ATP}$ γιατί βαίνουν σε ίσα τόξα . Αβίαστα τώρα έχω ότι :

Όλες οι κίτρινες γωνίες είναι ίσες και άρα τα σημεία T,S,C,P

είναι ομοκυκλικά .

$BT \cdot BP = BS \cdot BC = 70\,\,\,\left( 1 \right)$ . $BT \cdot BP = BZ \cdot BA \Rightarrow 70 = 13BZ \Rightarrow BZ = \dfrac{{70}}{{13}}$ και άρα:
.

: Επτά προς τρία_oritzin.png (23.25 KiB) Προβλήθηκε 516 φορές

.
$AZ = 13 - \dfrac{{70}}{{13}} \Rightarrow \boxed{AZ = \dfrac{{99}}{{13}}}\,\,\,\left( * \right)$ .

Από την άλλη μεριά , $\dfrac{{EZ}}{{BD}} = \dfrac{{AZ}}{{AD}}$ οπότε και λόγω της $\left( * \right)$ έχω: $\boxed{EZ = \dfrac{{165}}{{52}}}\,\,\,\left( { * * } \right)$

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle ZEA$ και λόγω των $\left( * \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left( { * * } \right)$ έχω : $4{r^2} = {\left( {\dfrac{{99}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{165}}{{52}}} \right)^2},$ με δεκτή τη θετική ρίζα : $\boxed{r = \dfrac{{33}}{8}}$

Διερεύνηση

( Ευχαριστώ το Γιώργο το Βισβίκη για την επισήμανση)

Αν το βρεθεί ανάμεσα στα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ προκύπτουν :

$BZ = \dfrac{{30}}{{13}},\,AZ = \dfrac{{139}}{{13}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZE = \dfrac{{695}}{{156}}$ και τότε $\boxed{r = \dfrac{{139}}{{24}}}$

: Επτά προς τρία_διερεύνηση.png (33.3 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές

KARKAR · #3

Η αλήθεια είναι πως είχα κατά νου μόνο την πρώτη περίπτωση . Την δεύτερη θα την έλεγα " Τρία προς επτά "

Επτά προς τρία

Επτά προς τρία

Re: Επτά προς τρία

Re: Επτά προς τρία

Μέλη σε σύνδεση