Κατασκευή χορδής

[george visvikis]

Κατασκευή χορδής..png (10.78 KiB) Προβλήθηκε 744 φορές

Δίνεται κύκλος διαμέτρου μία χορδή κάθετη στη διάμετρο στο σημείο και ένα τμήμα μήκους με

Να εντοπίσετε σημείο του κύκλου, ώστε αν η χορδή τέμνει τη στο να είναι

[S.E.Louridas]

Δίνεται κύκλος διαμέτρου μία χορδή κάθετη στη διάμετρο στο σημείο και ένα τμήμα μήκους με
Να εντοπίσετε σημείο του κύκλου, ώστε αν η χορδή τέμνει τη στο να είναι

Καλημέρα καλημέρα.

Ας μου επιτραπεί να περιγράψω μία κάπως παραβατική ιδέα επιδιώκοντας κάποιον πλουραλισμό, αφού μάνι μάνι υπάρχει
και η καταρχάς αλγεβρική με σκοπό την κατασκευή ρίζας κτλ:


Θεωρούμε στο εσωτερικό της χορδής σημείο τέτοιο πού
Στη συνέχεια κατασκευάζουμε τον κύκλο διαμέτρου κέντρου, έστω
Ονομάζουμε το σημείο τομής του ευθύγραμμου τμήματος με τον ανασκευασθέντα ήδη κύκλο με διάμετρο το
Τότε ο κύκλος τέμνει την στα ζητούμενα σημεία

[Mihalis_Lambrou]

Κατασκευή χορδής..png
Δίνεται κύκλος διαμέτρου μία χορδή κάθετη στη διάμετρο στο σημείο και ένα τμήμα μήκους με

Να εντοπίσετε σημείο του κύκλου, ώστε αν η χορδή τέμνει τη στο να είναι

Με βάση το σχήμα του Γιώργου: Επειδή το είναι εγγράψιμμο (οι γωνίες του και είναι ορθές) έπεται από την δύναμη του σημείου ως προς το ότι

.

Λύνουμε τώρα την δευτεροβάθμια ως προς . Συγκεκριμένα, κατά τα γνωστά, έστω τέτοιο ώστε , το οποίο κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη: Γράφουμε κύκλο διαμέτρου , και φέρνουμε κάθετο στην διάμετρο στο σημείο της μέχρι να τμήσει τον κύκλο. Το μήμα αυτό, ως ύψος ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα την , έχει την ζητούμενη ιδιότητα.

Έτσι η δευτεροβάθμια με γίνεται , οπότε , που κατασκευάζεται (χρήση Πυθαγορείου). Τελειώσαμε.

Έχω ένα ενδιαφέρον ιστορικό σχόλιο γι' αυτό το πρόβλημα, το οποίο συζητά ο Πάππος στην Συναγωγή του. Θα το γράψω αργότερα, όταν βρω την ακριβή παραπομπή.

Edit: Με πρόλαβε ο Σωτήρης. Χρωστάω όμως το ιστορικό σχόλιο.

[Mihalis_Lambrou]

Έχω ένα ενδιαφέρον ιστορικό σχόλιο γι' αυτό το πρόβλημα, το οποίο συζητά ο Πάππος στην Συναγωγή του. Θα το γράψω αργότερα, όταν βρω την ακριβή παραπομπή.

Η πρώτη φορά που εμφανίζεται το εν λόγω πρόβλημα είναι σε ειδική περίπτωση, συγκεκριμένα όπου το στο σχήμα του Γιώργου είναι στο της διαμέτρου και το , όπου η ακτίνα του ημικυκλίου. Αυτό που προκαλεί εντύπωση είναι η παλαιότητα της αναφοράς: Οφείλεται στον Ιπποκράτη τον Χίο, σε έναν από τους τετραγωνισμούς μηνίσκου που έκανε, τον 5ο αιώνα π.Χ. Πηγή μας το Υπόμνημα στα Φυσικά του Αριστοτέλη, του Σιμπλικίου (ο οποίος έζησε τον 6ο αι. μ.Χ., δηλαδή περί τα 1000 αργότερα από τον Ιπποκράτη. (Βλέπε π.χ. Heath, History of Greek Mathematics, τόμος 1, σελίς ).

Το ίδιο το πρόβλημα που ανάρτησε ο θεματοθέτης, ο Γιώργος, και μερικές παραλαγές του, υπάρχουν στην περίφημη Συναγωγή του Πάππου (450 μ.Χ.), στο Βιβλίο 7, όπου δίνει περίληψη του κατά τα άλλα χαμένου σήμερα έργου Περί νεύσεων του Απολλωνίου. Ο Πάππος δεν μας δίνει την λύση του Απολλωνίου. Λύσεις βέβαια τώρα υπάρχουν στα παραπάνω ποστ.

[Doloros]

Κατασκευή χορδής..png
Δίνεται κύκλος διαμέτρου μία χορδή κάθετη στη διάμετρο στο σημείο και ένα τμήμα μήκους με

Να εντοπίσετε σημείο του κύκλου, ώστε αν η χορδή τέμνει τη στο να είναι

Στο δρόμο που χάραξαν οι προλαλήσαντες .

Προεκτείνω την κατά τμήμα και γράφω κύκλο διαμέτρου και κέντρου . Η τέμνει τον κύκλο αυτό στα .

Κατασκευή χορδή_Βισβίκη.png (30.62 KiB) Προβλήθηκε 620 φορές

Αν θέσω το σταθερό θα ισχύει :

Γράφω τώρα τον κύκλο και τέμνει το στο , η δε τον αρχικό κύκλο στο .

Επειδή λόγω και της θα είναι , .

[george visvikis]

Ευχαριστώ τους Σωτήρη, Μιχάλη και Νίκο για τις λύσεις τους

Ένα επιπλέον ευχαριστώ στον Μιχάλη (που είναι ζωντανή Εγκυκλοπαίδεια)
για τις πολύ ενδιαφέρουσες ιστορικές πληροφορίες.

Την άσκηση ανέσυρα από το Elegant Geometric Constructions του Paul Yiu