Γεωμετρικά Χριστούγεννα

#1

Καλά Χριστούγεννα σε όλους!

: Γεωμετρικά Χριστούγεννα.png (13.83 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές

είναι τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου ABC.

Ονομάζω

την περίμετρο του

DEZ.

Να δείξετε ότι κάθε ύψος του τριγώνου ABC

είναι μεγαλύτερο από $\dfrac{p}{2}.$

Αν θεωρείται γνωστή, δώστε χρόνο σε όσους τη βλέπουν για πρώτη φορά.

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 24, 2022 6:59 pm
Καλά Χριστούγεννα σε όλους!

Γεωμετρικά Χριστούγεννα.png
είναι τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου Ονομάζω την περίμετρο του

Να δείξετε ότι κάθε ύψος του τριγώνου είναι μεγαλύτερο από $\dfrac{p}{2}.$

Αν θεωρείται γνωστή, δώστε χρόνο σε όσους τη βλέπουν για πρώτη φορά.

Καλά Χριστούγεννα κ. Γιώργο!

Έστω K,L

τα συμμετρικά του

ως προς τις πλευρές AB,BC

αντίστοιχα. Είναι,

$\angle KZA=\angle AZE=\angle C=\angle BZD,$

άρα τα σημεία K,Z,D

είναι συνευθειακά. Όμοια,

$\angle LDC=\angle EDC=\angle A=\angle ZDB,$

άρα και τα σημεία Z,D,L

είναι συνευθειακά. Τέλος, παρατηρούμε ότι

KL=KZ+ZD+DL=ZE+ZD+DE,

ενώ επίσης KB=BE=BL

. Από την Τριγωνική Ανισότητα στο τρίγωνο KBL

συμπεραίνουμε πως

KB+BL>KL,

οπότε προκύπτει τελικά ότι 2BE>ZE+ZD+DE,

δηλαδή ότι $h_b > \dfrac{p}{2}$ , που δίνει το ζητούμενο για το ύψος που άγεται από την κορυφή

. Όμοια δουλεύουμε για τις κορυφές

και

, οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Γεωμετρικά Χριστούγεννα

Γεωμετρικά Χριστούγεννα

Re: Γεωμετρικά Χριστούγεννα

Μέλη σε σύνδεση