Διαμέτρηση

KARKAR · #1

: Διαμέτρηση.png (10.27 KiB) Προβλήθηκε 819 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με

, το ημικύκλιο διαμέτρου

εφάπτεται στην υποτείνουσα

, ενώ το ημικύκλιο με διάμετρο

, εφάπτεται

του προηγουμένου και της

. Υπολογίστε τα μήκη των διαμέτρων : AL , MN

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 20, 2022 12:11 pm
Διαμέτρηση.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο με , το ημικύκλιο διαμέτρου

εφάπτεται στην υποτείνουσα , ενώ το ημικύκλιο με διάμετρο , εφάπτεται

του προηγουμένου και της . Υπολογίστε τα μήκη των διαμέτρων : .

Ας δούμε πρώτα τη γεωμετρική κατασκευή του όλου σχήματος χωρίς υπολογισμούς .

Αρκεί να βρούμε τα κέντρα $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K\,\,$ των δύο ημικυκλίων .

Το

είναι το σημείο τομής της διχοτόμου της $\widehat {ACB}$ με την

.

Έστω $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q$ τα συμμετρικά του

ως προς το

και ως προς την ευθεία

αντίστοιχα.

Θεωρούμε την παράλληλη , ευθεία

, από το

στην

.
.

: Διαμέτρηση_κατασκευή.png (21.37 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές

.
Ο κύκλος $\left( {K,KO} \right)$ θα εφάπτεται στην ευθεία

και θα ισαπέχει των $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ .

Δηλαδή έχω το Απολλώνιο πρόβλημα ( σημείο, σημείο , ευθεία).

Από τους δυο κύκλους κρατάμε αυτόν που το κέντρο του ανήκει στο ευθύγραμμο τμήμα

.

Ο υπολογισμός του $\boxed{AO = \frac{{40}}{{5 + \sqrt {89} }}}$ είναι απλός , ενώ για την ακτίνα του άλλου

κύκλου θα ψάξω να την υπολογίσω όχι στηριζόμενος στην κατασκευή γιατί έχει πράξεις με πολλούς άρρητους .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 20, 2022 12:11 pm
Διαμέτρηση.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο με , το ημικύκλιο διαμέτρου

εφάπτεται στην υποτείνουσα , ενώ το ημικύκλιο με διάμετρο , εφάπτεται

του προηγουμένου και της . Υπολογίστε τα μήκη των διαμέτρων : .

Υπολογισμοί

Από θ. διχοτόμου προκύπτει : ακτίνα $R = AO = \dfrac{{bc}}{{a + b}}\,\,\left( 1 \right)$ και AL = 2R

.

Έστω

. Με τους συμβολισμούς στο σχήμα και βάσει της κατασκευής είναι :

$H{G^2} = HO \cdot HT = 2OB\left( {2OB + 2R} \right) = 32\left( {8 - R} \right)$ $\left( 2 \right)$ .

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle QOH$ , $H{Q^2} = O{H^2} - O{Q^2} = 4{\left( {8 - R} \right)^2} - 4{R^2} = 64\left( {4 - R} \right)$ $\left( 3 \right)$ .

Άρα $GQ = HG - HQ\mathop = \limits^{\left( 2 \right),\left( 3 \right)} 4\left( {\sqrt {2\left( {8 - R} \right)} - 2\sqrt {4 - R} } \right)$ .

: Διαμέτρηση_υπολογισμοί_ αλλιώς_Γενικά.png (27.28 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές

Αυτή η διαφορά είναι ίση με το κοινό εφαπτόμενο τμήμα ,

, των δύο ημικυκλίων.

Θα προκύψει έτσι η εξίσωση , $2\sqrt {Rx} = 4\left( {\sqrt {2\left( {8 - R} \right)} - 2\sqrt {4 - R} } \right)$ που δίδει :

$\boxed{x = \frac{{4\left( {\sqrt {2\left( {8 - R} \right)} - 2\sqrt {4 - R} } \right)}}{R}}\,\,\left( 4 \right)$ και έτσι MN = 2x

π.χ. αν $b = 5\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = 8$ οι τύποι , $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 4 \right)$ δίδουν:

$R = \dfrac{{40}}{{5 + \sqrt {89} }}$ και $x = \dfrac{{\left( {5 + \sqrt {89} } \right){{\left( {\sqrt {89 - 5\sqrt {89} } - \sqrt {89} + 5} \right)}^2}}}{{40}} \simeq 1,492359116$

#4

Λόγω της διχοτόμου

είναι $\boxed{AL = 2R = \frac{{2bc}}{{a + b}}}$ Είναι ακόμα

$\displaystyle B{T^2} = BL \cdot BA \Leftrightarrow BT = \sqrt {c(c - 2R)}$ και ως γνωστόν $\displaystyle ST = 2\sqrt {Rr}$

: Διαμέτρηση.ΚΑ.png (19.98 KiB) Προβλήθηκε 695 φορές

$\displaystyle K{D^2} - A{D^2} = K{A^2} = K{B^2} - A{B^2} = (S{B^2} + {r^2}) - {c^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle {r^2} + 2Rr = {r^2} + {\left( {2\sqrt {Rr} + \sqrt {c(c - 2R)} } \right)^2} - {c^2} \Leftrightarrow 2Rr + {c^2} = {\left( {2\sqrt {Rr} + \sqrt {c(c - 2R)} } \right)^2}$

Από την τελευταία αυτή εξίσωση προσδιορίζουμε το

(όλα τα υπόλοιπα είναι γνωστά).

Αν AB=8, AC=5,

τότε βρίσκω τις τιμές που έχει ήδη γράψει ο φίλτατος Νίκος.

Προσωπικά, προτιμώ να είναι AB=8, AC=6,

οπότε $\boxed{AL=6}$ και $\boxed{MN = 2r = \frac{{16}}{3}\left( {7 - 2\sqrt 2 } \right)}$

Διαμέτρηση

Διαμέτρηση

Re: Διαμέτρηση

Re: Διαμέτρηση

Re: Διαμέτρηση

Μέλη σε σύνδεση