Κακολογία

KARKAR · #1

: Κακολογία.png (14.28 KiB) Προβλήθηκε 540 φορές

Από σημείο

, το οποίο κινείται στην προέκταση της διαμέτρου

ενός κύκλου , φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα SP , ST

. Η προέκταση της

τέμνει την κάθετη της

στο

, στο σημείο

. Από το μέσο

του

φέρω το τμήμα

, το οποίο τέμνει τον κύκλο στο

, ενώ η ευθεία

τέμνει την

στο

.

Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{AQ}{QN}$ , παραμένει σταθερός .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 12, 2021 7:43 pm
Κακολογία.pngΑπό σημείο , το οποίο κινείται στην προέκταση της διαμέτρου ενός κύκλου , φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα . Η προέκταση της τέμνει την κάθετη της στο , στο σημείο . Από το μέσο

του φέρω το τμήμα , το οποίο τέμνει τον κύκλο στο , ενώ η ευθεία τέμνει την στο .

Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{AQ}{QN}$ , παραμένει σταθερός .

: Κακολογία.png (12.18 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές

Έστω $K\equiv TL\cap AN$ . Τότε με

το μέσο της

και $KN\parallel TP$ προκύπτει από το Θεώρημα της κεντρικής δέσμης ότι και

το μέσο της $KN\Rightarrow KQ=QN$ . Επίσης από $\angle QTL\overset{\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma -\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau o\iota \chi \eta \,\,\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta }{\mathop{=}}\,\angle TPL\equiv$ $\angle TPN\overset{AN\parallel TP\left( \kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\sigma \tau \eta \nu \,\,AS \right)}{\mathop{=}}\,\angle QNL\Rightarrow NQLT$ εγγράψιμο σε κύκλο οπότε με

σημείο του ριζικού άξονα των δύο κύκλων θα έχουμε: $KQ\cdot KN=K{{A}^{2}}\Rightarrow QN\cdot 2QN={{\left( AQ-KQ \right)}^{2}}\Rightarrow 2Q{{N}^{2}}={{\left( AQ-QN \right)}^{2}}\Rightarrow$
$2Q{{N}^{2}}=A{{Q}^{2}}-2AQ\cdot QN+Q{{N}^{2}}\Rightarrow A{{Q}^{2}}-2AQ\cdot QN-Q{{N}^{2}}=0$ $\overset{:Q{{N}^{2}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,{{\left( \dfrac{AQ}{QN} \right)}^{2}}-2\dfrac{AQ}{QN}-1=0$ και σαν δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς $\dfrac{AQ}{QN}$ βρίσκουμε τη θετική ρίζα $1+\sqrt{2}$ , άρα $\dfrac{AQ}{QN}=1+\sqrt{2}=ct$

Κακολογία

Κακολογία

Re: Κακολογία

Μέλη σε σύνδεση