mathematica.gr • Εξίσωση τετάρτου βαθμού

Σελίδα 1 από 1

Εξίσωση τετάρτου βαθμού

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 18, 2025 10:12 am

από KARKAR

α) Να λυθεί η εξίσωση : (x+1)(x+2)(x+3)(x+6)=143x^2

(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)=143x^2

β) Για ποιες τιμές του φυσικού k>1

k>1

, η εξίσωση : (x+1)(x+2)(x+3)(x+6)=(k^2-1)x^2

(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)=(k^2-1)x^2

,

έχει όλες τις ρίζες πραγματικές ;

Re: Εξίσωση τετάρτου βαθμού

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 18, 2025 8:50 pm

από add2math

α) Η αρχική εξίσωση είναι διαδοχικά ισοδύναμη με:
(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)=143x^2

(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)=143x^2

(x^2+6+7x)(x^2+5x+6)=143x^2

(x^2+6x+6+x)(x^2+6x+6-x)=143x^2

(x^2+6x+6)^2-x^2=143x^2

(x^2+6x+6)^2=144x^2

$x^2+6x+6=\pm12x$
Καταλήγουμε σε δυο δευτεροβάθμιες εξισώσεις με ρίζες $x_{1,2}=3\pm\sqrt{3}$ και $x_{3,4}=-9\pm5\sqrt{3}$

β) Όπως πριν έχω ότι η (x+1)(x+2)(x+3)(x+6)=(k^2-1)x^2

(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)=(k^2-1)x^2

είναι ισοδύναμη με τις $x^2+6x+6=\pm kx$ ή με τις $x^2+(6\pm k)x+6=0$ .
Για να έχουν πραγματικές ρίζες πρέπει οι διακρίνουσές τους να είναι μη αρνητικές.
Άρα πρέπει $\Delta_{1,2}=(6\pm k)^2-24=k^2\pm 12k+12\geq 0$ .
Το τριώνυμο k^2+12k+12

k^2+12k+12

έχει ρίζες τα $k_{1,2}=-6\pm 2\sqrt{3}$ ενώ το k^2-12k+12

k^2-12k+12

έχει ρίζες τα $k_{3,4}=6\pm 2\sqrt{3}$ .

Έχω τον παρακάτω πίνακα προσήμων

: exisosi4ba8moy.png (7.54 KiB) Προβλήθηκε 1640 φορές

Άρα για να έχω 4 πραγματικές ρίζες πρέπει $k \in (-\infty,-6- 2\sqrt{3}]\cup [-6+2\sqrt{3},6- 2\sqrt{3}] \cup [6+2\sqrt{3},+\infty)$

Αφού θέλουμε και k>1

k>1

καταλήγουμε ότι πρέπει $k \in (1,6- 2\sqrt{3}] \cup [6+2\sqrt{3},+\infty)$