Αντιπαραγωγική 2

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^4}{(2x-3)^3} , x>\dfrac{3}{2}$ . Υπολογίστε

την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αλλά χωρίς χρήση παραγώγων .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 23, 2025 8:52 am
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^4}{(2x-3)^3} , x>\dfrac{3}{2}$ . Υπολογίστε

την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αλλά χωρίς χρήση παραγώγων .

Ισοδύναμα θέλουμε το μέγιστο της αντίστροφής της $\dfrac {1}{x^4}(2x-3)^3= \dfrac {1}{x}\left (2-\dfrac {3}{x}\right )^3$ .

Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε οτι αυτό είναι

$= \dfrac {1}{9} \dfrac {9}{x}\left (2-\dfrac {3}{x}\right )^3 \le \dfrac {1}{9}\left ( \dfrac {\dfrac {9}{x}+ 2-\dfrac {3}{x} +2-\dfrac {3}{x} +2-\dfrac {3}{x} }{4} \right )^4= \dfrac {9}{16}$

με ισότητα όταν $\dfrac {9}{x}= 2-\dfrac {3}{x}$ , δηλαδή x=6

. Άρα το ζητούμενο ελάχιστο είναι 16/9

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 23, 2025 8:52 am
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^4}{(2x-3)^3} , x>\dfrac{3}{2}$ . Υπολογίστε

την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αλλά χωρίς χρήση παραγώγων .

Ας δούμε μία παραλλαγή της προηγούμενης λύσης. Η διαφορά είναι ότι στην προηγούμενη λύση η ανισότητα κατασκευάστηκε από ένα γινόμενο σε ένα άθροισμα, αλλά τώρα γίνεται το ανάποδο.

Θέτουμε 2x-3=y^4

, ισοδύναμα $x=\dfrac {y^4+3}{2}$ . Έχουμε τότε

$\dfrac{x^4}{(2x-3)^3}= \left ( \dfrac {y^4+3}{2}\right ) ^4\cdot \dfrac {1}{y^{12}} = \dfrac {1}{2^4} \left ( \dfrac {y^4+3}{y^3}\right ) ^4= \dfrac {1}{2^4} \left ( y+\dfrac {3}{y^3}\right ) ^4 =$

$= \dfrac {1}{2^4} \left ( \dfrac {y}{3}+\dfrac {y}{3}+\dfrac {y}{3}+\dfrac {3}{y^3}\right ) ^4 \ge ^{AM-GM} \dfrac {1}{2^4} \cdot 4^4 \left ( \dfrac {y}{3} \cdot \dfrac {y}{3} \cdot \dfrac {y}{3} \cdot \dfrac {3}{y^3}\right ) = \dfrac {4^4}{2^4}\cdot \dfrac {1}{9}=\dfrac {16}{9}$

με ισότητα όταν $\dfrac {y}{3} = \dfrac {3}{y^3}$ , ισοδύναμα 2x-3=y^4=9

, ή αλλιώς, x=6

.

KARKAR · #4

Ισοδύναμα θέλουμε το μέγιστο του αντίστροφου κλάσματος , δηλαδή της ποσότητας :

$\dfrac {1}{x^4}(2x-3)^3= \dfrac {1}{x}\left (2-\dfrac {3}{x}\right )^3=\dfrac {1}{3}\cdot\dfrac {3}{x}\left (2-\dfrac {3}{x}\right )^3$ . Τώρα τεχνική Γ.Ρίζου :

Επειδή : $\dfrac{3}{x}+2-\dfrac{3}{x}=ct$ , το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν : $\dfrac{3}{x}=\dfrac{1}{3}(2-\dfrac{3}{x})$ ,

δηλαδή για x=6

, οπότε καταλήγουμε στο ζητούμενο ελάχιστο $\dfrac{16}{9}$ .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 23, 2025 8:40 pm
Επειδή : $\dfrac{3}{x}+2-\dfrac{3}{x}=ct$ , το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν : $\dfrac{3}{x}=\dfrac{1}{3}(2-\dfrac{3}{x})$ ,

Αυτό θέλει απόδειξη. Είναι βέβαια γνωστή τεχνική και κάποτε ήταν στάνταρ ύλη στα Σχολικά βιβλία, αλλά επειδή σήμερα δεν είναι γνωστή σε όλους έβαλα την απόδειξη στην πρώτη μου λύση παραπάνω. Αλλιώς δεν βλέπω διαφορά στην μία λύση από την άλλη, στα ποστ #2 και #4.

Και με όλη την συμπάθεια στον αγαπητό φίλο Γιώργο Ρίζο, νομίζω ότι η εν λόγω η τεχνική δεν πρέπει να φέρει το όνομά του καθώς είναι, ήταν και θα είναι γνωστή πριν και μετά από εμάς. Ας προσθέσω ότι συναντάω την τεχνική σε πάμπολλα βιβλία Άλγεβρας που διαπράγματεύονται μέγιστα και ελάχιστα χωρίς παραγώγους, από πριν από το 1800.

Αντιπαραγωγική 2

Αντιπαραγωγική 2

Re: Αντιπαραγωγική 2

Re: Αντιπαραγωγική 2

Re: Αντιπαραγωγική 2

Re: Αντιπαραγωγική 2

Μέλη σε σύνδεση