Απόλυτα ακρότατα

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή της έκφρασης

$\displaystyle{ \dfrac{\left |a+b-2c \right | +\left |b+c-2a \right |+\left |c+a-2b \right |}{\left | a-b \right |+\left | b-c \right |+\left | c-a \right |} }$ .

Για "Ευκλείδη" Β',Γ' Λυκείου

Μάρκος Βασίλης · #2

Έστω $f(a,b,c)=\dfrac{|a+b-2c|+|b+c-2a|+|c+a-2b|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}$ , με a,b,c

όχι και τα τρία ίσα. Η

ξαναγράφεται:

$f(a,b,c)=\dfrac{|a-c+b-c|+|b-a+c-a|+|c-b+a-b|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|},$

οπότε, εφαρμόζοντας την τριγωνική ανισότητα σε κάθε απόλυτο του αριθμητή έχουμε:

$\displaystyle\begin{aligned} f(a,b,c)&\leq\frac{|a-c|+|b-c|+|b-a|+|c-a|+|c-b|+|a-b|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}=\frac{2\left(|a-b|+|b-c|+|c-a|\right)}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}=\\&=2=f(0,0,1), \end{aligned}$
επομένως, η μέγιστη τιμή της

είναι

.

Για την ελάχιστη τιμή, υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $a\geq b\geq c$ (αφού η f(a,b,c)

παραμένει σταθερή για οποιαδήποτε αναδιάταξη των a,b,c

). Ο αριθμητής, και πάλι λόγω της τριγωνικής ανισότητας, γράφεται:

$\begin{aligned} |a+b-2c|+|b+c-2a|+|c+a-2b|&=a+b-2c+2a-b-c+|c+a-2b|=3(a-c)+|a+c-2b| \end{aligned}$

Επίσης, για τον παρονομαστή έχουμε |a-b|+|b-c|+|c-a|=a-b+b-c+a-c=2(a-c)

.

Επομένως:

$\displaystyle\begin{aligned} f(a,b,c)&=\frac{3(a-c)+|2b-c-a|}{2(a-c)}=\frac{3}{2}+\frac{|2b-c-a|}{2(a-c)}\geq\frac{3}{2}=f(1,0,-1), \end{aligned}$

Επομένως, η ελάχιστη τιμή της

είναι $\dfrac{3}{2}$ .

Αφού παίζουμε μόνο με απόλυτα, δε θα μπορούσε να είναι και θέμα σε διαγωνισμό της Α' λυκείου;

Al.Koutsouridis · #3

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 15, 2019 6:51 pm
Αφού παίζουμε μόνο με απόλυτα, δε θα μπορούσε να είναι και θέμα σε διαγωνισμό της Α' λυκείου;

Το για Ευκλείδη Β’, Γ’ Λυκείου είναι προσωπική εκτίμηση. Δεν έχω την κατάλληλη εμπειρία και μπορεί να κάνω λάθος. Προφανώς μπορεί να την δοκιμάσει ο καθένας.

Η ύλη για τον Θαλή/Ευκλείδη είναι η ύλη των προηγούμενων τάξεων και η τρέχουσα που έχει διδαχθεί. Οι απόλυτες τιμές στην ουσία διδάσκονται στην Α’ Λυκείου οπότε οι μαθητές δεν είναι εξοικειωμένοι την έννοια και τις ιδιότητες τους. Δεύτερον λογικές σκέψεις όπως χωρίς βλάβη της γενικότητας ή εις άτοπο απαγωγή, μέγιστη τιμή συνάρτησης κτλ. εισάγονται και αυτές στην Α’ Λυκείου. Επειδή οι διαγωνισμοί αυτοί θεωρώ ότι δεν έχουν σκοπό (πρωτεύον τουλάχιστον) να εξετάσουν αν ο μαθητής έχει κατανοήσει ή γνωρίζει την τρέχουσα ύλη θα ήταν δόκιμο να αποφεύγονται θέματα που άπτονται αυτής. Πάνω κάτω αυτές ήταν οι σκέψεις μου πίσω από αυτή την αντιστοίχιση.

Μάρκος Βασίλης · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 15, 2019 10:34 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 15, 2019 6:51 pm
Αφού παίζουμε μόνο με απόλυτα, δε θα μπορούσε να είναι και θέμα σε διαγωνισμό της Α' λυκείου;
Το για Ευκλείδη Β’, Γ’ Λυκείου είναι προσωπική εκτίμηση. Δεν έχω την κατάλληλη εμπειρία και μπορεί να κάνω λάθος. Προφανώς μπορεί να την δοκιμάσει ο καθένας.

Η ύλη για τον Θαλή/Ευκλείδη είναι η ύλη των προηγούμενων τάξεων και η τρέχουσα που έχει διδαχθεί. Οι απόλυτες τιμές στην ουσία διδάσκονται στην Α’ Λυκείου οπότε οι μαθητές δεν είναι εξοικειωμένοι την έννοια και τις ιδιότητες τους. Δεύτερον λογικές σκέψεις όπως χωρίς βλάβη της γενικότητας ή εις άτοπο επαγωγή, μέγιστη τιμή συνάρτησης κτλ. εισάγονται και αυτές στην Α’ Λυκείου. Επειδή οι διαγωνισμοί αυτοί θεωρώ ότι δεν έχουν σκοπό (πρωτεύον τουλάχιστον) να εξετάσουν αν ο μαθητής έχει κατανοήσει ή γνωρίζει την τρέχουσα ύλη θα ήταν δόκιμο να αποφεύγονται θέματα που άπτονται αυτής. Πάνω κάτω αυτές ήταν οι σκέψεις μου πίσω από αυτή την αντιστοίχιση.

Υπό αυτό το πρίσμα, πράγματι, θα ήταν καταλληλότερη για μεγαλύτερη τάξη.

Απόλυτα ακρότατα

Απόλυτα ακρότατα

Re: Απόλυτα ακρότατα

Re: Απόλυτα ακρότατα

Re: Απόλυτα ακρότατα

Μέλη σε σύνδεση