Πολλά εννιάρια 2

Συντονιστές: emouroukos, achilleas, silouan

ksofsa
Δημοσιεύσεις: 529
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Πολλά εννιάρια 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Κυρ Σεπ 10, 2023 12:34 pm

Με αφορμή το θέμα εδώ, προτείνω το συναφές πρόβλημα:

Ο αριθμός N=99...9 έχει n εννιάρια. Πόσα εννιάρια έχει ο N^5;



Λέξεις Κλειδιά:
mick7
Δημοσιεύσεις: 1435
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Πολλά εννιάρια 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Κυρ Σεπ 10, 2023 7:40 pm

Πειραματικά (αρα με επιφύλαξη) το εβγαλα 3n-1.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 529
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Re: Πολλά εννιάρια 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Κυρ Σεπ 10, 2023 9:25 pm

Καλησπέρα.

Πράγματι, η σωστή απάντηση είναι 3n-1.

Θα δώσω απόδειξη, αν δεν απαντηθεί, μέσα στις επόμενες λίγες μέρες.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9010
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πολλά εννιάρια 2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Σεπ 11, 2023 9:08 am

Ας το δούμε και αυτό τότε.

\displaystyle  \begin{aligned} 
N^5 = (10^n-1)^5 &= 10^{5n} - 5 \cdot 10^{4n} + 10 \cdot 10^{3n} -10\cdot 10^{2n} + 5\cdot 10^n - 1 \\ 
&= \underbrace{9 \cdots 9}_{n-1} 5 \underbrace{0 \cdots 0}_{4n} + 10 \cdot 10^{3n} -10\cdot 10^{2n} + 5\cdot 10^n - 1 \\ 
&= \underbrace{9 \cdots 9}_{n-1} 5 \underbrace{0 \cdots 0}_{n-2} 1 \underbrace{0 \cdots 0}_{3n+1}   -10\cdot 10^{2n} + 5\cdot 10^n - 1 \\ 
&= \underbrace{9 \cdots 9}_{n-1} 5 \underbrace{0 \cdots 0}_{n-1} \underbrace{9 \cdots 9}_{n} \underbrace{0 \cdots 0}_{2n+1}   + 5\cdot 10^n - 1 \\ 
&= \underbrace{9 \cdots 9}_{n-1} 5 \underbrace{0 \cdots 0}_{n-1} \underbrace{9 \cdots 9}_{n} \underbrace{0 \cdots 0}_{n} 5\underbrace{0 \cdots 0}_{n}   - 1 \\ 
&= \underbrace{9 \cdots 9}_{n-1} 5 \underbrace{0 \cdots 0}_{n-1} \underbrace{9 \cdots 9}_{n} \underbrace{0 \cdots 0}_{n} 4\underbrace{9 \cdots 9}_{n}   
\end{aligned}

Συνολικά 3n-1 εννιάρια.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης