Τετράγωνο σύνολο

#1

Λέμε ότι ένα πεπερασμένο σύνολο θετικών ακεραίων είναι τετράγωνο αν δεν είναι κενό και το γινόμενο όλων των στοιχείων του είναι το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού. Αποδείξτε ότι το σύνολο $\displaystyle{\{1, 2, 3, . . . , 20\}}$ έχει ακριβώς $2^{12} − 1$ τετράγωνα υποσύνολα.

#2

Ας θυμηθούμε ένα σύνολο

στοιχείων έχει 2^n

υποσύνολα εκ των οποίων $2^{n-1}$ έχουν περιττό πλήθος στοιχείων και $2^{n-1}$ έχουν άρτιο πλήθος στοιχείων. (Υπολογίζουμε και το κενό σύνολο σε αυτά.)

Από το σύνολο $\{11,13,17,19\}$ δεν μπορούμε να επιλέξουμε κανέναν αριθμό.

Από το σύνολο $\{7,14\}$ είμαστε αναγκασμένοι να επιλέξουμε άρτιο πλήθος στοιχείων. Αυτό γίνεται με τρόπους.

Από το σύνολο $\{5,10,15,20\}$ είμαστε αναγκασμένοι να επιλέξουμε άρτιο πλήθος στοιχείων. Αυτό γίνεται με τρόπους.

Από το σύνολο $\{3,6,12\}$ είμαστε αναγκασμένοι να επιλέξουμε είτε περιττό είτε άρτιο πλήθος στοιχείων αναλόγως αν έχει ήδη επιλεχθεί το ή όχι. (Εδώ κοιτάζουμε τα πολλαπλάσια του . Τα και δεν παίζουν ρόλο ακόμη αφού και στα δύο το εμφανίζεται σε άρτια δύναμη.) Σε κάθε περίπτωση αυτό γίνεται με τρόπους.

Από το σύνολο $\{1,4,9,16\}$ μπορούμε να επιλέξουμε όποια στοιχεία θέλουμε. Αυτό γίνεται με τρόπους.

Από το σύνολο $\{2,8,18\}$ είμαστε αναγκασμένοι να επιλέξουμε είτε περιττό είτε άρτιο πλήθος στοιχείων αναλόγως με το ποια από τα έχουν ήδη επιλεχθεί. Αυτό γίνεται με τρόπους.

Συνολικά λοιπόν έχουμε $2^{1+3+2+4+2} = 2^{12}$ διαφορετικούς τρόπους επιλογής. Όμως μέσα σε αυτούς συμπεριλαμβάνεται και η επιλογή του κενού συνόλου η οποία απαγορεύεται. Επομένως μας μένουν $2^{12}-1$ διαφορετικοί τρόποι.

#3

Τετράγωνο σύνολο

Τετράγωνο σύνολο

Re: Τετράγωνο σύνολο

Re: Τετράγωνο σύνολο

Μέλη σε σύνδεση