Κάλυψη σκακιέρας

#1

Είναι δυνατόν να καλύψουμε σκακιέρα $100 \times 100$ με ίσο αριθμό ορθογωνίων $2\times 4$ και $1\times 8;$
(Τα σχήματα μπορούν να περιστραφούν)

2nisic · #2

Βάφουμε της στήλες εναλλάξ μια λευκή μια μαύρη τότε:
Κάθε σχήμα $2\times 4$ περιέχει

μαύρα και

λευκά τετράγωνα.
Κάθε οριζόντιο $1\times 8$ περιέχει

μαύρα και

λευκά τετράγωνα.
Καθε κάθετο $1\times 8$ είναι μονόχρωμο.

Επειδή το πλήθος των μαύρων τετραγώνων είναι ίσο με τών λευκών θα πρέπει το πλήθος των κάθετων $1\times 8$ που βρίσκονται σε άρτιες στήλες να είναι με το πλήθος των κάθετων $1\times 8$ που βρίσκονται σε περιττές στήλες.
Οπότε το πλήθος των κάθετων $1\times 8$ είναι άρτιο.

Ομοίως βάφοντας εναλλάξ της σειρές έχουμε ότι και το πλήθος των οριζόντιων $1\times 8$ είναι άρτιο.
Άρα το πλήθος όλων των $1\times 8$ είναι άρτιο αδύνατο αφού ισούται με 25^2

.

#3

Ωραία!

Διαφορετικά, μπορούμε να αριθμήσουμε τις γραμμές και τις στήλες και σε κάθε τετραγωνίδιο να αντιστοιχίσουμε το άθροισμα του αριθμού της γραμμής και του αριθμού της στήλης που βρίσκεται...

2nisic · #4

Να βρεθούν ολοι οι φυσηκοι αριθμοί m,n

που είναι τέτοιοι ώστε να είναι δυνατόν να καλύψουμε σκακιέρα $m \times n$ με ίσο αριθμό ορθογωνίων $2\times 4$ και $1\times 8$
(Τα σχήματα μπορούν να περιστραφούν)

#5

2nisic έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 09, 2022 4:18 pm
Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί που είναι τέτοιοι ώστε να είναι δυνατόν να καλύψουμε σκακιέρα $m \times n$ με ίσο αριθμό ορθογωνίων $2\times 4$ και $1\times 8.$ (Τα σχήματα μπορούν να περιστραφούν)

Επαναφορά!

Τσιαλας Νικολαος · #6

Συγνώμη αλλά απαγορευέται η δημοσίευση θεμάτων του προκριματικού!

Κυριάκος Τσουρέκας · #7

Έχει πλάκα πάντως το γεγονός ότι η άσκηση είναι καταχωρημένη σε φάκελο για juniors...

Κω.Κωνσταντινίδης · #8

Καλησπέρα και από μένα. Ας δούμε μια προσέγγιση για το αρχικό που βασίζεται στο ότι το πλήθος των $4\times 2$ ή $2\times 4$ πλακιδίων είναι περιττό.

Λύση:

Θεωρούμε $\omega$ μια (οποιαδήποτε) πρωταρχική όγδοη ρίζα της μονάδας (που ταυτίζεται με τις ρίζες του πολυωνύμου x^4+1

).

Βάζουμε στο κελί με συντεταγμένες (i,j)

τον αριθμό $\omega^{i+j}$ .
Το άθροισμα όλων των αριθμών στη σκακιέρα είναι $S=\omega^2(\sum_{i=0}^{99}\omega^{i})^{2}$ το οποίο από τη σχέση $\omega^{8}=1$ κάνει $\omega^2(\sum_{i=0}^{99}\omega^{i})^{2}=\omega^{2}(1+\omega+\omega^2+\omega^3)^2=\frac{4\omega^{2}}{(\omega-1)^2}$ .
Αν υποθέσουμε ότι η σκακιέρα καλύπτεται με τον τρόπο που λέει η εκφώνηση, η συνεισφορά των $1\times 8, 8\times 1$ πλακιδίων στο παραπάνω άθροισμα είναι μηδενική, ενώ κάθε $4\times 2$ ή $2\times 4$ πλακίδιο συνεισφέρει κατά $\omega^{a}+2\omega^{a+1}+2\omega^{a+2}+2\omega^{a+3}+\omega^{a+4}=\omega^{a}(1+\omega)(1+\omega+\omega^2+\omega^3)=-2\omega^{a}\frac{(1+\omega)}{\omega-1}$ όπου

το άθροισμα των συντεταγμένων του πάνω αριστερά πλακιδίου του ορθογωνίου αυτού.
Έτσι (υπολογίζοντας

βάσει του αθροίσματος των συνεισφορών των πλακιδίων) παίρνουμε την ισότητα $\frac{4\omega^{2}}{(\omega-1)^2}=\sum_{a}\omega^{a}\frac{-2(1+\omega)}{\omega-1}$ όπου το άθροισμα στο δεξί μέλος είναι πάνω από περιττό αριθμό α/πλακιδίων λόγω της υπόθεσης.
Αυτή η σχέση γίνεται $\frac{-2\omega^{2}}{(\omega-1)(\omega+1)}=\sum_{a}\omega^{a}$ από όπου πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή με $\omega^2+1$ και λόγω της $\omega^4+1=0$ προκύπτει $\sum_{a}\omega^{a}=\omega^4+\omega^2=\omega^2-1$ .

Τώρα μπορούμε να κάνουμε ελεύθερα αναγωγές στους εκθέτες του αριστερού μέλους mod8

(διότι $\omega^8=1$ ) καθώς και mod4

μόνο που τότε κάθε αναγωγή συνοδεύεται από αλλαγή προσήμου. Έτσι καταλήγουμε σε σχέση της μορφής $\omega^2-1=\sum _{a'}\epsilon_{a'}\omega^{a'}$ όπου τα

στο δεξί μέλος είναι περιττά το πλήθος, δεν υπερβαίνουν το 4, και $\epsilon_{a'}=\pm 1$ .
Αυτή η σχέση ισχύει για κάθε μια από τις 4 ρίζες του x^4+1

και επομένως ισχύει ταυτοτικά ως ισότητα πολυωνύμων.
Θέτοντας $\omega=1$ στα 2 μέλη, το ένα αριστερό μέλος είναι άρτιο και το δεξί περιττό, άτοπο.

Κάλυψη σκακιέρας

Κάλυψη σκακιέρας

Re: Κάλυψη σκακιέρας

Re: Κάλυψη σκακιέρας

Re: Κάλυψη σκακιέρας

Re: Κάλυψη σκακιέρας

Re: Κάλυψη σκακιέρας

Re: Κάλυψη σκακιέρας

Re: Κάλυψη σκακιέρας

Μέλη σε σύνδεση