Άθροισμα γινομένων διωνυμικών

#1

Αν

μη αρνητικοί ακέραιοι με $a+b \leqslant 6$ , τότε ορίζουμε $\displaystyle{ T(a,b) = \binom{6}{a}\binom{6}{b}\binom{6}{a+b}.}$ Έστω

το άθροισμα όλων των T(a,b)

ώστε

μη αρνητικοί ακέραιοι με $a+b \leqslant 6$ .

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του

με το

.

Πηγή: ΑΙΜΕ Ι 2017, Άσκηση 7

Ορέστης Λιγνός · #2

Demetres έγραψε:Αν μη αρνητικοί ακέραιοι με $a+b \leqslant 6$ , τότε ορίζουμε $\displaystyle{ T(a,b) = \binom{6}{a}\binom{6}{b}\binom{6}{a+b}.}$ Έστω το άθροισμα όλων των ώστε μη αρνητικοί ακέραιοι με $a+b \leqslant 6$ .

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το .

Πηγή: ΑΙΜΕ Ι 2017, Άσκηση 7

Λόγω της γνωστής ιδιότητας $\displaystyle \binom{m}{n}=\binom{m}{m-n}$ , είναι $\displaystyle \binom{6}{a+b}=\binom{6}{6-a-b}$ .

Έστω λοιπόν 6-a-b=c

και τότε $\displaystyle T(a,b)=\binom{6}{a}\binom{6}{b}\binom{6}{c}$ , με a+b+c=6

.

Έστω ένας πίνακας $6 \times 3$ .

Τότε το δοσμένο άθροισμα

εκφράζει τον αριθμό των τρόπων που μπορούμε να επιλέξουμε $6\, (=a+b+c)$ κελιά από τα

του πίνακα, αλλά μετρώντας τα ανά στήλη (επιλέγουμε

από την πρώτη στήλη,

από την δεύτερη και

από την τρίτη).

Έτσι, $\displaystyle S=\binom{18}{6}=18564$ , οπότε η απάντηση στο πρόβλημα είναι $\boxed{564}$ .

Άθροισμα γινομένων διωνυμικών

Άθροισμα γινομένων διωνυμικών

Re: Άθροισμα γινομένων διωνυμικών

Μέλη σε σύνδεση