Ποντίκια σε σκακιέρα

[2nisic]

Δίνεται τετράγωνο πλευράς που διαιρείται σε μοναδιαία τετράγωνα.Σε κάθε μία από τις κορυφές.Τοποθετείτε ένα ποντίκι.Τα ποντίκια κινούνται πάνω στην πλευρές των μοναδικών τετραγώνων αφού πρώτα κάνουν στροφή μοιρον.Να βρεθούν όλες οι τημες τού για της οποίες τα ποντίκια μπορούν να κινούνται για πάντα χωρίς ποντίκια να εμφανιστούν στην ίδια κορυτφη.

[Mihalis_Lambrou]

Δίνεται τετράγωνο πλευράς που διαιρείται σε μοναδιαία τετράγωνα.Σε κάθε μία από τις Τοποθετείτε ένα ποντίκι.Τα ποντίκια κινούνται πάνω στην πλευρές των μοναδικών τετραγώνων αφού πρώτα κάνουν στροφή μοιρον.Να βρεθούν όλες οι τημες τού για της οποίες τα ποντίκια μπορούν να κινούνται για πάντα χωρίς 2 ποντίκια να εμφανιστούν στην ίδια κοριφη.

Eλπίζοντας ότι έχω καταλάβει σωστά το πρόβλημα (*)

Βάφουμε κάθε κορυφή μαύρο ή άσπρο. Aφού σε κάθε κίνηση το κάθε ποντίκι θα πάει σε κορυφή άλλου χρώματος, πρέπει οι μαύρες να είναι όσες οι άσπρες. Άρα άρτιος, οπότε περιττός. Για περιττός πάντα μπορούμε να κάνουμε την ζητούμενη κίνηση: Χωρίζουμε τις κορυφές σε ξένες ανά δύο γειτονικές τετράδες. Π.χ. το σχήμα δείχνει την περίπτωση , και οι εν λόγω τετράδες είναι οι μπλε. Σε κάθε κίνηση τα ποντίκια μένουν στην τετράδα τους κινούμενα κυκλικά. Τελειώσαμε.

(*) Π.χ. δεν καταλαβαίνω πώς θα γίνει η πρώτη κίνηση αφού τα ποντίκια δεν ήλθαν από κάπου για να στρίψουν. Θα θεωρώ ότι η πρώτη κίνηση είναι "όπως θέλουν". Δεύτερον μετά το της εκφώνησης σίγουρα λείπει κείμενο. Θα θεωρώ ότι υπάρχει η λέξη "κορυφές".

[2nisic]

Καλά καταλάβατε παρά την ελλειπή εκφώνηση μου.

[2nisic]

Ας την κάνουμε δυσκολότερη.Να βρεθούν όλοι η φυσική για τούς οποίους σε ισόπλευρο τρίγωνο που διαιρείται σε μικροτερα ισόπλευρα τρίγωνα (με πλευρές παράλληλες προς τής αρχικές)τα ποντίκια να μπορούν να κινούνται για πάντα χωρίς δύο από αυτά να φτάσουν στην ίδια κορυφή [τώρα θα στρίβουν η μοίρες σχετικά με την προηγούμενη κίνηση τούς (εκτός από την πρώτη)].

[Mihalis_Lambrou]

Ας την κάνουμε δυσκολότερη.Να βρεθούν όλοι η φυσική για τούς οποίους σε ισόπλευρο τρίγωνο που διαιρείται σε μικροτερα ισόπλευρα τρίγωνα (με πλευρές παράλληλες προς τής αρχικές)τα ποντίκια να μπορούν να κινούνται για πάντα χωρίς δύο από αυτά να φτάσουν στην ίδια κορυφή [τώρα θα στρίβουν η μοίρες σχετικά με την προηγούμενη κίνηση τούς (εκτός από την πρώτη)].

Δεν ξέρω την απάντηση για άρτιο πλην της που αποδεικνύεται σχετικά εύκολα ότι είναι αρνητική. Για περιττό είναι θετική. Το παρακάτω σχήμα στην προφανή του γενίκευση από το που σχεδιάστηκε, δείχνει τον τρόπο. Τα ποντίκια κινούνται κυκλικά στα μπλε σχήματα, τρίγωνα και ρόμβους.

[2nisic]

Μια βοήθεια:
Ισχύει για όλους τους φυσικούς εκτός από .
Βρείτε τρόπο για και ύστερα τρόπο προσφέροντας παράλληλες από κάτω.