mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 10, 2017 2:49 pm**

Αν για τους θετικούς a,b,c,d

ισχύει

και

να εκφράσετε την ελάχιστη τιμή της A=(a^5+b^4+d^5+abd)(a^4+c^5+d^4+acd)(b^5+c^4+bcd+abc)

συναρτήσει του

. Για μαθητές.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 10, 2017 3:51 pm**

Η ανισότητα γίνεται:

$(a^5+b^4+d^5+abd)(a^4+acd+d^4+c^5)(bcd+b^5+abc+c^4)\geq k\Leftrightarrow$

$(a^5+b^4+d^5+abd)^{\dfrac{1}{3}}(a^4+acd+d^4+c^5)^{\dfrac{1}{3}}$ $(bcd+b^5+abc+c^4)^{\dfrac{1}{3}}\geq \sqrt[3]{k}$

Από την ανισότητα Holder

παίρνουμε ότι:

$(a^5+b^4+d^5+abd)^{\dfrac{1}{3}}(a^4+acd+d^4+c^5)^{\dfrac{1}{3}}(bcd+b^5+abc+c^4)^{\dfrac{1}{3}}\geq$

$\sqrt[3]{a^9bcd}+\sqrt[3]{ab^9cd}+\sqrt[3]{abc^9d}+\sqrt[3]{abcd^9}=$ $\sqrt[3]{a^8}+\sqrt[3]{b^8}+\sqrt[3]{c^8}+\sqrt[3]{d^8}$

Από την ανισότητα των δυνάμεων παίρνουμε ότι $\sqrt[\dfrac{8}{3}]{\dfrac{\sqrt[3]{a^8}+\sqrt[3]{b^8}+\sqrt[3]{c^8}+\sqrt[3]{d^8}}{4}}$ \displaystyle{\geq \dfrac{a+b+c+d}{4}\Leftrightarrow

\sqrt[3]{a^8}+\sqrt[3]{b^8}+\sqrt[3]{c^8}+\sqrt[3]{d^8}\geq 4\cdot

\sqrt[3]{(\dfrac{a+b+c+d}{4})^8}=4\cdot

\sqrt[3]{(\dfrac{n}{4})^8} Άρα έχουμε ότι: