Ανισότητα!

Ορέστης Λιγνός · #1

Έστω $a,b,c \in \mathbb{R}$ , τέτοια ώστε a+b+c=0

και

.

Να βρείτε το $\max$ της παράστασης P=a^2b^2c^2

.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Αναμφίβολα

από τους

είναι ομόσημοι. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε πως οι ομόσημοι είναι ο

και ο

. Με αυτόν τον τρόπο εξασφαλίζουμε πως το

είναι θετικό.

Έχουμε πως:

a=-b-c

.

Άρα ισχύει ότι $a^2+b^2+c^2=1\Leftrightarrow (-b-c)^2+b^2+c^2=1\Leftrightarrow b^2+c^2+bc=\dfrac{1}{2}$

Θέλουμε την μέγιστη τιμή του $P=a^2b^2c^2=(-b-c)^2b^2c^2=(b^2+c^2+2bc)b^2c^2=(\dfrac{1}{2}+bc)b^2c^2=b^3c^3+\dfrac{b^2c^2}{2}$ .

Όμως $\dfrac{1}{2}=b^2+c^2+bc\geq 3\sqrt[3]{b^3c^3}=3bc\Leftrightarrow bc\leq \dfrac{1}{6}$ (ισότητα όταν b=c

)

Άρα $P=b^3c^3+\dfrac{b^2c^2}{2}\leq \dfrac{1}{216}+\dfrac{1}{72}$

Επομένως η μέγιστη τιμή της παράστασης

είναι $\dfrac{1}{216}+\dfrac{1}{72}$ και επιτυγχάνεται όταν δύο από τους a, b, c

είναι ίσοι (εύκολα τώρα προκύπτει ότι θα είναι οι δύο $\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ και ο άλλος $-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ ).

dement · #3

Διαφορετικά:

Έχουμε $\displaystyle ab+bc+ca = - \frac{1}{2}$ οπότε τα a, b, c

είναι οι ρίζες του $\displaystyle x^3 - \frac{1}{2}x - abc$ . Το πολυώνυμο έχει ακρότατα στα $\displaystyle \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$ και το abc

παίρνει τις ακρότατες τιμές του όταν έχουμε διπλή ρίζα.

Έτσι, οι περιπτώσεις μας είναι $\displaystyle \left( \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, \mp \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \right)$ με $\displaystyle a^2b^2c^2 = \frac{1}{54}$

#4

Δείτε και

viewtopic.php?p=69919#p69919

Ανισότητα!

Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση