Μέγιστη γωνία

KARKAR · #1

: Μέγιστη γωνία.png (15.61 KiB) Προβλήθηκε 504 φορές

Σε τμήμα

θεωρούμε σημείο

, ώστε : $AS=\dfrac{AB}{4}$ . Σε κύκλο διερχόμενο από τα S , B

φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

. Υπολογίστε το μέγιστο μέτρο της γωνίας $\widehat{ATS}$ .

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 20, 2024 9:14 am
Σε τμήμα θεωρούμε σημείο , ώστε : $AS=\dfrac{AB}{4}$ . Σε κύκλο διερχόμενο από τα φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το μέγιστο μέτρο της γωνίας $\widehat{ATS}$ .

Ας γενικεύσουμε: ... Δίνονται μη μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα

και εσωτερικό του σημείο S ... ,

τότε ας δούμε
την διαπραγμάτευση που ακολουθεί:

Έχουμε $AT = \sqrt {AS \cdot AB} ,\;\;ct.$

Αυτό σημαίνει ότι ο κύκλος $e:\left( {A,\,AT} \right)$ είναι σταθερός.

Το ευθύγραμμο τμήμα

είναι σταθερό, οπότε το ${\theta _{\max }}$ επιτυγχάνεται όταν ο περιγεγραμμένος κύκλος

στο τρίγωνο TAS

έχει την ελάχιστη ακτίνα. Όμως τότε μιλάμε για τον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία A, S

και εφάπτεται εσωτερικά

στον κύκλο

(αφήνεται προς μελέτη, αν και είναι ψιλό - γνωστό πρόβλημα, τουλάχιστον για φάκελο ευρύτερων διαγωνισμών).

Άρα κατασκευάζουμε τον κύκλο αυτό.

: max.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 20, 2024 9:14 am
Μέγιστη γωνία.pngΣε τμήμα θεωρούμε σημείο , ώστε : $AS=\dfrac{AB}{4}$ . Σε κύκλο διερχόμενο από τα

φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το μέγιστο μέτρο της γωνίας $\widehat{ATS}$ .

Στην προηγούμενη ανάρτησή μου είχα λάβει BS=4n

αντί

της εκφώνησης (όπως μου επισήμανε ο Θανάσης.)

Η παρακάτω λύση είναι χωρίς αυτό το λογιστικό λάθος .Επίσης διορθώθηκε και το σχήμα

Ας είναι $AB=a,TA=m,AS=n= \dfrac{a}{4}$ κι έστω

ύψος του τριγώνου TBA

.Είναι

Προφανώς η γωνία $\theta$ είναι οξεία,άρα καθίσταται μέγιστη όταν το $sin\theta$ γίνει μέγιστο

Ισχύει $m^2=n.a= \dfrac{a^2}{4} \Rightarrow m= \dfrac{a}{2}$

$sin \theta = \dfrac{2(TAS)}{mx}= \dfrac{(TBA)}{4mx}= \dfrac{a}{4m}. \dfrac{h}{x} \leq \dfrac{a}{4m} =\dfrac{1}{2}$ (αφού $h \leq x$ )

Επομένως η μέγιστη τιμή της γωνίας $\theta$ λαμβάνεται όταν $h \equiv x$ δηλαδή

όταν η

είναι διάμετρος και $sin \theta _{max}= \dfrac{a}{4m}= \dfrac{ {1} }{2}$ .Άρα $\theta =30^0$

: μέγιστη γωνία.png (24.24 KiB) Προβλήθηκε 404 φορές

Μέγιστη γωνία

Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Μέλη σε σύνδεση