Τρίγωνο-136.

[Κυριάκος Τσουρέκας]

Καλησπέρα κύριε Γιώργο και συγνώμη που επεμβαίνω,
Απλώς μια διαπίστωση:
Λαμβάνοντας υπόψη ότι η άσκηση απευθύνεται σε παιδιά γυμνασίου, ακόμη και οι γεωμετρικές λύσεις χρησιμοποιούν άγνωστα πράγματα (για έναν μαθητή πάντα).

Οπότε, είτε η άσκηση είναι εντελώς εκτός φακέλου, ή δεν είναι μόνο η λύση του cool geometry (κύριου Μιχάλη) εκτός φακέλου.

Για να γίνω πιο κατανοητός, δίνω μια οπτική από την μεριά του μαθητή: φέτος (εγώ α λυκείου) μας έχουν βγάλει μέχρι και τον κύκλο από την ύλη (φτάνουμε μέεεεεχρι και τα ισοσκελή τραπέζια ) οπότε, ένας μέτριος-καλός μαθητής, θα κοίταζε τις (ολοκληρωμένες) γεωμετρικές λύσεις με τον ίδιο τρόπο που κοιτάζει και την (ανολοκλήρωτη) τριγωνομετρική- σαν να διαβάζει κινέζικα.

Επομένως, είναι λάθος (κατά τη γνώμη μου) να λέτε ότι απευθυνόμαστε σε παιδιά χωρίς πολυ προχωρημένο επίπεδο, γιατί όπως σας είπα οι κανονικοί μαθητές δεν λύνουν ούτε τις ασκήσεις στον φάκελο ΔΗΜΟΤΙΚΟ!

Επειδή παρακολουθώ το αρκετό καιρό για να βρίσκω ασκήσεις και έχω παρατηρήσει ότι πολλοί καθηγητές γράφουν ότι απευθύνονται σε μαθητές και ήθελα να κάνω αυτή την διαπίστωση.

Επλίζω να μην σας κούρασα.
Φιλικά,
Κυριάκος Τσουρέκας

[cool geometry]

Κυριάκο, είσαι ευγενέστατος και συμφωνώ με όλα αυτά που λες!! Έχεις μεγάλο respect από εμένα!!!

[george visvikis]

Καλησπέρα κύριε Γιώργο και συγνώμη που επεμβαίνω,
Απλώς μια διαπίστωση:
Λαμβάνοντας υπόψη ότι η άσκηση απευθύνεται σε παιδιά γυμνασίου, ακόμη και οι γεωμετρικές λύσεις χρησιμοποιούν άγνωστα πράγματα (για έναν μαθητή πάντα).

Οπότε, είτε η άσκηση είναι εντελώς εκτός φακέλου, ή δεν είναι μόνο η λύση του cool geometry (κύριου Μιχάλη) εκτός φακέλου.

Για να γίνω πιο κατανοητός, δίνω μια οπτική από την μεριά του μαθητή: φέτος (εγώ α λυκείου) μας έχουν βγάλει μέχρι και τον κύκλο από την ύλη (φτάνουμε μέεεεεχρι και τα ισοσκελή τραπέζια ) οπότε, ένας μέτριος-καλός μαθητής, θα κοίταζε τις (ολοκληρωμένες) γεωμετρικές λύσεις με τον ίδιο τρόπο που κοιτάζει και την (ανολοκλήρωτη) τριγωνομετρική- σαν να διαβάζει κινέζικα.

Επομένως, είναι λάθος (κατά τη γνώμη μου) να λέτε ότι απευθυνόμαστε σε παιδιά χωρίς πολυ προχωρημένο επίπεδο, γιατί όπως σας είπα οι κανονικοί μαθητές δεν λύνουν ούτε τις ασκήσεις στον φάκελο ΔΗΜΟΤΙΚΟ!

Επειδή παρακολουθώ το αρκετό καιρό για να βρίσκω ασκήσεις και έχω παρατηρήσει ότι πολλοί καθηγητές γράφουν ότι απευθύνονται σε μαθητές και ήθελα να κάνω αυτή την διαπίστωση.

Επλίζω να μην σας κούρασα.
Φιλικά,
Κυριάκος Τσουρέκας

Καλημέρα Κυριάκο,

Η λύση μου (#7) μπορεί να γίνει κατανοητή από μαθητές γυμνασίου. Δεν λέω ότι θα την σκεφτόταν ένας μαθητής, αλλά θα μπορούσε τουλάχιστον να την καταλάβει. Στη λύση μου οι μόνες "άγνωστες" λέξεις είναι το περίκεντρο (το κέντρο του κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου) και το εγγράψιμο τετράπλευρο με απέναντι γωνίες ορθές (άλλωστε όλοι γνωρίζουν ήδη από την Β' Γυμνασίου ότι κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή και το αντίστροφο). Το μόνο λοιπόν που απαιτείται είναι να διατυπωθούν διαφορετικά κάποιες έννοιες. Δεν υπάρχει καμία σύγκριση με τα "κινέζικα" της τριγωνομετρίας.

Τέλος, ας μην ξεχνάμε ότι τα παιδιά που δηλώνουν συμμετοχή στα διαγωνιστικά μαθηματικά και έχουν αξιώσεις να προκριθούν στον επόμενο γύρο, κάνουν κάποια έξτρα μαθήματα είτε στο σχολείο τους είτε στο τοπικό παράρτημα της ΕΜΕ είτε και με ιδιαίτερα. Και στα μαθήματα αυτά (στο επίπεδο Θαλή-Ευκλείδη Γυμνασίου) δεν περιλαμβάνεται "σκληρή" τριγωνομετρία.

[Κυριάκος Τσουρέκας]

Καλημέρα κύριε Γιώργο,
Να παραδεχτώ αρχικά πως πράγματι στην λύση σας υπήρχαν λίγες άγνωστες έννοιες, ενώ τους τύπους τριγωνομετρίας αυτούς καθ'αυτούς τους μαθαίνουν τα παιδιά στην β' λυκείου.

Δεν ήξερα όμως ότι ο φάκελος που μπαίνει μια άσκηση, καθορίζεται από τα εργαλεία που χρησιμοποιούνται για να την λύσουν!

Θεωρώ ότι το επίπεδο κάθε άσκησης πρέπει να δηλώνει το απαιτούμενο επίπεδο του μαθητή που θα την λύσει.
Αν θυμάστε την περσινή γεωμετρική του Αρχιμήδη μικρών, λυνόταν με απλά εργαλεία αλλά και με μια φανταστική ιδέα. Θα έπρεπε κατά τα λεγόμενά σας να τοποθετηθεί σε φάκελο Θαλή-Ευκλείδη Γυμνασίου!

Σαν ένα άλλο παράδειγμα, υπάρχουν ασκήσεις ΒΜΟ, (παλιές βέβαια, αλλά υπάρχουν) οι οποίες λύνονται με θεώρημα θαλή και εγγραψιμότητες. Παρόλα αυτά είναι ασκήσεις επιπέδου ΒΜΟ επειδή είναι δύσκολο να στεφτεί κανείς τη λύση,και όχι επειδή λύνεται με κάποιο wow θεώρημα.

Τα λέω όλα αυτά σκεπτόμενος τους μαθητές β και γ γυμνασίου, οι οποίοι προετοιμάζονται για θαλή και Ευκλείδη, μπαίνουν στο για να βρούν ασκήσεις και, πηγαίνοντας στον φάκελο με τάχα το επίπεδό τους, δεν μπορούν να λύσουν καμία άσκηση! Αυτό όπως καταλαβαίνετε δεν είναι καθόλου ενθαρρυντικό για αυτούς τους μαθητές, τους οποίους το θέλει να βοηθήσει.

Ελπίζω να με καταλαβαίνετε.
Φιλικά
Κυριάκος Τσουρέκας

[george visvikis]

Κυριάκο, θα συμφωνήσω στα περισσότερα που γράφεις. Πράγματι στο μπαίνουν ασκήσεις σε φάκελο Θαλή-Ευκλείδη Γυμνασίου που είναι πέρα από τις δυνατότητες των μαθητών. Φροντίζω, όσο το δυνατόν περισσότερο, να βάζω θέματα βατά σε αυτό το φάκελο. Υπάρχει όμως κάποια ιδιαιτερότητα στα δυσκολότερα θέματα. Εδώ δεν έχουμε την πολυτέλεια του Αρχιμήδη. Από Θαλή-Ευκλείδη πηγαίνουμε απευθείας σε Προχωρημένο επίπεδο. Έτσι, υπάρχουν ασκήσεις που είναι δυσκολότερες από εκείνες που απευθύνονται στο φάκελο Θαλή-Ευκλείδη, αλλά αρκετά ευκολότερες από αυτές που απαιτούνται στις Ολυμπιάδες. Αυτές δεν ξέρουμε πού να τις κατατάξουμε. Ο εκάστοτε θεματοθέτης, λοιπόν, τις κατατάσσει σύμφωνα με την κρίση του. Κατά τη γνώμη μου, εδώ οφείλεται κατά ένα μεγάλο ποσοστό αυτό που παρατηρείται με τις ασκήσεις του


Καλή συνέχεια
Γιώργος Βισβίκης.

[Henri van Aubel]

Γιατί εδώ μας αρέσουν οι έξυπνοι άνθρωποι και όχι οι εξυπνάκηδες.

Συμφωνώ στο 100% με τα λεγόμενά σου!! Του coolgeometry του έχετε πει χίλιες φορές να γράφει πλήρεις λύσεις, δεν ξέρω γιατί δεν το κάνει!!
Οι τριγωνομετρικές σχέσεις που γράφει είναι σωστές, αλλά δεν είναι αυτός ο σκοπός του προβλήματος! Ακόμα και ολοκληρωμένη να ήταν η λύση του, δεν αξίζει τον κόπο να γραφτεί , εφόσον είναι τριγωνομετρική.

[Ορέστης Λιγνός]

Γιατί εδώ μας αρέσουν οι έξυπνοι άνθρωποι και όχι οι εξυπνάκηδες.

... Ακόμα και ολοκληρωμένη να ήταν η λύση του, δεν αξίζει τον κόπο να γραφτεί , εφόσον είναι τριγωνομετρική.

Αυτό το τσιτάτο πού είναι γραμμένο; Στους 5 τελευταίους διεθνείς διαγωνισμούς που έχω συμμετάσχει (BMO 2021, BMO 2022, IMO 2021, IMO 2022, Μεσογειάδα 2022) έχω λύσει το πρόβλημα της γεωμετρίας με κομψότατους (κατά την γνώμη μου) τριγωνομετρικούς τρόπους.

Πιστεύω ότι οι τριγωνομετρικές λύσεις δεν είναι a priori πιο άσχημες από τις καθαρόαιμες γεωμετρικές, καθώς η τριγωνομετρία είναι ένα πολύτιμο εργαλείο που συχνά δίνει πανέμορφες λύσεις σε γεωμετρικά προβλήματα, εκεί όπου οι συνθετικές μέθοδοι πολλές φορές αποτυγχάνουν.

Τα στεγανά προηγούμενων δεκαετιών για την τριγωνομετρία που την έχουν μετατρέψει σε κόκκινο πανί, είναι πιστεύω καλό να αποφεύγονται σε ένα μαθηματικό φόρουμ που προωθεί την πολυφωνία και τον πλουραλισμό. Όσο όμορφο είναι για κάποιον να βλέπει μία γεωμετρική σκέψη να ξεκλειδώνει ένα πρόβλημα, άλλο τόσο είναι και για μένα να βλέπω την τριγωνομετρία να δίνει άμεσες και μεθοδικές λύσεις.

Ορέστης.

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Aγαπητέ Κυριάκο
Μολονότι ο Γιώργος Βισβίκης με κάλυψε με αυτά που έγραψε, θέλω να απευθυνθώ σε εσένα γιατί είχες το θάρρος να γράψεις, πολύ ευγενικά, αυτά που αισθάνεσαι χρησιμοποιώντας το όνομα και την ιδιότητά σου.
Οι πιο πολλοί επαγγελματίες μαθηματικοί που προτείνουμε θέματα στο mathematica έχουμε πλήρη επίγνωση του γενικού επιπέδου των μαθητών της Μέσης Εκπαίδευσης. Με αυτά τα παιδιά εργαζόμαστε κάθε μέρα σε σχολεία, Πανεπιστήμια, φροντιστήρια, ανάλογα με τον τόπο εργασίας του καθενός.
Ωστόσο υπάρχουν και λίγα παιδιά, σε πολλά μέρη της Ελλάδας, που θέλουν να ασχοληθούν με γνώσεις και ασκήσεις πέρα και πάνω από τα στενά σχολικά πλαίσια. Σε αυτά τα παιδιά απευθύνονται οι διαγωνισμοί, σε αυτά τα παιδιά απευθύνονται οι συζητήσεις των Juniors και Seniors στο mathematica. To γεγονός ότι αρχικά αυτοί οι μαθητές απογοητεύονται με τη δυσκολία των θεμάτων δεν πρέπει να τους καταβάλλει οριστικά.
Έτσι είναι η ζωή σε πολλούς τομείς...
Σιγά-σιγά κάποια παιδιά ξεπερνάνε τις δυσκολίες και τα καμαρώνουμε...
Ξέρεις Κυριάκο τι αξίζουν αυτά τα παιδιά;
Πλήρεις λύσεις δίχως λογικά και υπολογιστικά κενά. Τους το χρωστάμε αυτό...
Από εκεί ξεκίνησε η παρούσα κουβέντα...
Νομίζω ότι έγραψα αρκετά.

Εύχομαι σε εσένα καλό κουράγιο, καλή προσπάθεια και καλή επιτυχία στη διαδρομή σου.

Τηλέμαχος Μπαλτσαβιάς
Ένας μαθηματικός σε ένα γυμνάσιο ενός χωριού της Κεφαλονιάς.

[Henri van Aubel]

Γιατί εδώ μας αρέσουν οι έξυπνοι άνθρωποι και όχι οι εξυπνάκηδες.

... Ακόμα και ολοκληρωμένη να ήταν η λύση του, δεν αξίζει τον κόπο να γραφτεί , εφόσον είναι τριγωνομετρική.

Αυτό το τσιτάτο πού είναι γραμμένο; Στους 5 τελευταίους διεθνείς διαγωνισμούς που έχω συμμετάσχει (BMO 2021, BMO 2022, IMO 2021, IMO 2022, Μεσογειάδα 2022) έχω λύσει το πρόβλημα της γεωμετρίας με κομψότατους (κατά την γνώμη μου) τριγωνομετρικούς τρόπους.

Πιστεύω ότι οι τριγωνομετρικές λύσεις δεν είναι a priori πιο άσχημες από τις καθαρόαιμες γεωμετρικές, καθώς η τριγωνομετρία είναι ένα πολύτιμο εργαλείο που συχνά δίνει πανέμορφες λύσεις σε γεωμετρικά προβλήματα, εκεί όπου οι συνθετικές μέθοδοι πολλές φορές αποτυγχάνουν.

Τα στεγανά προηγούμενων δεκαετιών για την τριγωνομετρία που την έχουν μετατρέψει σε κόκκινο πανί, είναι πιστεύω καλό να αποφεύγονται σε ένα μαθηματικό φόρουμ που προωθεί την πολυφωνία και τον πλουραλισμό. Όσο όμορφο είναι για κάποιον να βλέπει μία γεωμετρική σκέψη να ξεκλειδώνει ένα πρόβλημα, άλλο τόσο είναι και για μένα να βλέπω την τριγωνομετρία να δίνει άμεσες και μεθοδικές λύσεις.

Ορέστης.

Ορέστη συμφωνώ ότι η τριγωνομετρία είναι πολύ σημαντικό εργαλείο και την χρησιμοποιώ συχνά σε προβλήματα (όποτε την έχω ανάγκη). Δεν εννοούσα κάτι κακό για την τριγωνομετρία, απλά λατρεύω την Ευκλείδεια Γεωμετρία και ο σκοπός της άσκησης δεν είναι να λυθεί με τριγωνομετρικό Ceva, αλλά με γεωμετρική προσέγγιση. Καλή συνέχεια.

Με θαυμασμό και σεβασμό,

Κώστας Δημητρακόπουλος

[STOPJOHN]

Καλησπέρα ,θέλω να δώσω μια απάντηση στον Ορέστη που εχει κάνει μεγάλα άλματα προόδου αλλα εχει και το θετικό στοιχείο να λέει Δημόσια τη γνώμη του με ευθυκρισία και αμεροληψία Φυσικά και η Τριγωνομετρία είναι ενας κλάδος των Μαθηματικών με μεγάλες εφαρμογές και μπορεί να δώσει λύσεις σε δυσκολα προβλήματα ΑΛΛΑ η συνθετική Γεωμετρία με την προσπάθεια να ανακαλύψουμε τη λύση με βοηθητικές ευθείες και πολλά εργαλεία είναι κάτι παραπάνω από την Τριγωνομετρία. Βέβαια περί ορέξεως ουδείς λόγος .

[Κυριάκος Τσουρέκας]

Καλησπέρα ,θέλω να δώσω μια απάντηση στον Ορέστη που εχει κάνει μεγάλα άλματα προόδου αλλα εχει και το θετικό στοιχείο να λέει Δημόσια τη γνώμη του με ευθυκρισία και αμεροληψία Φυσικά και η Τριγωνομετρία είναι ενας κλάδος των Μαθηματικών με μεγάλες εφαρμογές και μπορεί να δώσει λύσεις σε δυσκολα προβλήματα ΑΛΛΑ η συνθετική Γεωμετρία με την προσπάθεια να ανακαλύψουμε τη λύση με βοηθητικές ευθείες και πολλά εργαλεία είναι κάτι παραπάνω από την Τριγωνομετρία. Βέβαια περί ορέξεως ουδείς λόγος .

Συγνώμη αλλά δεν βλέπω το επιχείρημά σας...

Μια λύση γεωμετρική παίρνει 7 μονάδες και μια τριγωνομετρική παίρνει επίσης 7 μονάδες! Αν ο Ορέστης (και ο κάθε Ορέστης) μπορεί να λύσει το πρόβλημα με τριγωνομετρία σε 15 λεπτά, και να του μείνουν πάνω από 4 ώρες για τα υπόλοιπα, γιατί να κάτσει να βρεί μια δυσεύρετη γεωμετρική, και να μην του μείνει χρόνος για τα υπόλοιπα;

Θα γράφει μήπως πάνω στο μετάλλιο αν η άσκηση λύθηκε με τριγωνομετρία;

[STOPJOHN]

Καλησπέρα Κυριάκο το επιχείρημα μου έχει σχέση με την ικανοποίηση της ανακάλυψης στην Συνθετική Γεωμετρία Για τα υπόλοιπα που γράφεις για βαθμολογίες και χρόνο συμφωνώ

[Henri van Aubel]

Επειδή οφείλουμε πλήρη τριγωνομετρική λύση (εφόσον δεν το έκανε ο coolgeometry), ας την γράψω:

Από τριγωνομετρικό Ceva έχουμε:



Αυτό θα συνεχιστεί ως:



Συνεχίζουμε κι άλλο και έχουμε:



Λύνουμε ως προς και παίρνουμε:



Πολλές πράξεις βρε παιδιά , τελικά...

[Φανης Θεοφανιδης]

Επομένως.