Επιδίωξη ισότητας 7

KARKAR · #1

: Επιδίωξη ισότητας 7.png (6.02 KiB) Προβλήθηκε 916 φορές

Στην προέκταση της πλευράς AB=a

, τετραγώνου ABCD

θεωρούμε σημείο

.

Η

τέμνει την πλευρά

στο

και την διαγώνιο

στο

.

Για ποια θέση του

, προκύπτει SP=TD

και πόσο είναι τότε το

;

#2

Καλημέρα σε όλους.

: Επιδίωξη ισότητας 7.png (6.02 KiB) Προβλήθηκε 901 φορές

Έστω

.

Είναι AC: y = x

και $\displaystyle DS:\;y = - \frac{a}{b}x + a$ , οπότε $\displaystyle P\left( {a,\frac{{ab - {a^2}}}{b}} \right),\;T\left( {\frac{{ab}}{{a + b}},\;\frac{{ab}}{{a + b}}} \right)$

$\displaystyle DT = PS \Leftrightarrow D{T^2} = P{S^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{ab}}{{a + b}}} \right)^2} + {\left( {a - \frac{{ab}}{{a + b}}} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {\frac{{ab - {a^2}}}{b}} \right)^2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow {b^4} - 3{a^2}{b^2} + {a^4} = 0$ , που έχει ρίζες $\displaystyle {b_1} = \sqrt {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} a\;\;\;\; \vee \;\;{b_2} = \sqrt {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} a < a$ απορ.

$\displaystyle PT = \sqrt {{{\left( {a - \frac{{ab}}{{a + b}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ab - {a^2}}}{b} - \;\frac{{ab}}{{a + b}}} \right)}^2}} = \frac{{{a^2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\left( {a + b} \right)b}}$

Δεν υπολόγισα το

συναρτήσει μόνον του

, περιμένοντας τις κομψότερες γεωμετρικές λύσεις.

#3

Καλό μεσημέρι!

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και Μενέλαο στο DBS

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {AOT} ,$ έχω:

: Επ.Ισ.7.png (9.93 KiB) Προβλήθηκε 879 φορές

$\displaystyle \frac{d}{{x + d}} \cdot \frac{{a + y}}{a} \cdot \frac{{BO}}{{OD}} = 1 \Leftrightarrow 1 + \frac{y}{a} = 1 + \frac{x}{d} \Leftrightarrow \frac{y}{a} = \frac{x}{d}.$ Αλλά, $\displaystyle \frac{y}{a} = \frac{d}{{x + d}}.$

Άρα, $\boxed{d=x\Phi}$ και $\boxed{y=\frac{a}{\Phi}}$ όπου $\displaystyle \Phi = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}$

Π.Θ στο ASD,

$\displaystyle {x^2}{(2\Phi + 1)^2} = {a^2} + {\left( {a + \frac{a}{\Phi }} \right)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{a\sqrt {\Phi + 2} }}{{2\Phi + 1}}}$

και με αριθμούς $\boxed{x = \frac{a}{2}\sqrt {50 - 22\sqrt 5 } }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 27, 2021 9:23 am
Επιδίωξη ισότητας 7.pngΣτην προέκταση της πλευράς , τετραγώνου θεωρούμε σημείο .

Η τέμνει την πλευρά στο και την διαγώνιο στο .

Για ποια θέση του , προκύπτει και πόσο είναι τότε το ;

Οι πράσινες γωνίες είναι ίσες .Άρα $y^2=m(m+y) \Rightarrow y=m \phi }$ και

$\dfrac{a}{a+x}= \dfrac{y}{m+y}= \dfrac{m \phi }{m+m \phi }= \dfrac{ \phi }{1+ \phi }= \dfrac{ \phi }{ \phi ^2}= \dfrac{1}{ \phi }$

Άρα $x=a( \phi -1)$ όπου $\phi = \dfrac{1+ \sqrt{5} }{2}$ (γνωστό ότι $\phi ^2= \phi +1$ )

Το (β) ερώτημα που ξέχασα να απαντήσω

Με Π.Θ στο τρίγωνο SAD

είναι, $(2m \phi +m)^2=a^2 \phi ^2+a^2 \Rightarrow m=a \dfrac{ \sqrt{ \varphi ^2+1} }{2 \phi +1}$

: επιδίωξη ισότητας7.png (11.62 KiB) Προβλήθηκε 866 φορές

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 27, 2021 9:23 am
Επιδίωξη ισότητας 7.pngΣτην προέκταση της πλευράς , τετραγώνου θεωρούμε σημείο .

Η τέμνει την πλευρά στο και την διαγώνιο στο .

Για ποια θέση του , προκύπτει και πόσο είναι τότε το ;

Eστω $\large SB=x,DT=PS=d,PB=y,$ Tοτε τα τρίγωνα $\large JDT,PBS$ ειναι ίσα και

$\large DJ=AL=LT=x,TL//AD,\dfrac{x}{a}=\dfrac{a}{x+a}\Rightarrow x=a(\Phi -1),$

$\large y+x=a\Rightarrow y=a-x\Rightarrow y=a(2-\Phi ), d^{2}=y^{2}+x^{2} \Rightarrow d=a\sqrt{7-4\Phi} ,\dfrac{TP}{a-x}=\dfrac{d}{a-x}\Rightarrow TP=a.\dfrac{(2-\Phi )\sqrt{7-4\Phi }}{\Phi -1}$

Επιδίωξη ισότητας 7

Επιδίωξη ισότητας 7

Re: Επιδίωξη ισότητας 7

Re: Επιδίωξη ισότητας 7

Re: Επιδίωξη ισότητας 7

Re: Επιδίωξη ισότητας 7

Μέλη σε σύνδεση