Διπλάσια γωνία από καθετότητες

#1

: Διπλάσια γωνία από καθετότητες.png (14.12 KiB) Προβλήθηκε 963 φορές

Οξυγώνιο τρίγωνο ABC

με

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Το ύψος από την κορυφή

τέμνει τον κύκλο στο

Η

κάθετη από το

στην

επανατέμνει τον κύκλο στο

και την προέκταση της

στο

Να δείξετε ότι $\displaystyle P\widehat BC = 2B\widehat PQ.$

Filippos Athos · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 16, 2020 4:53 pm
Διπλάσια γωνία από καθετότητες.png
Οξυγώνιο τρίγωνο με είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Το ύψος από την κορυφή τέμνει τον κύκλο στο Η

κάθετη από το στην επανατέμνει τον κύκλο στο και την προέκταση της στο Να δείξετε ότι $\displaystyle P\widehat BC = 2B\widehat PQ.$

: διπλάσια γωνιά - καθετότητες.png (230.81 KiB) Προβλήθηκε 948 φορές

Έστω

σημείο τομής

με

Έχουμε $B\widehat{A}D=B\widehat{P}D$ .Άρα τα τρίγωνα ABF,BQP

είναι όμοια άρα $Q\widehat{B}P=A\widehat{B}F$
Άρα η διχοτόμος της $P\widehat{B}F$ (

) είναι κάθετη στο

.Δηλαδή $q//QP\Rightarrow Q\widehat{P}B=\frac{1}{2}P\widehat{B}F$ .

S.E.Louridas · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 16, 2020 4:53 pm
Διπλάσια γωνία από καθετότητες.png
Οξυγώνιο τρίγωνο με είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Το ύψος από την κορυφή τέμνει τον κύκλο στο Η
κάθετη από το στην επανατέμνει τον κύκλο στο και την προέκταση της στο Να δείξετε ότι $\displaystyle P\widehat BC = 2B\widehat PQ.$

Ας δούμε και την εκδοχή που ακολουθεί:

Αν

η τομή των PD, CB

, τότε $\angle BPD = \angle BAD = \angle DSB \Rightarrow \angle PBC = 2\angle BPD.$

: aassf.png (23.7 KiB) Προβλήθηκε 911 φορές

#4

: Διπλάσια γωνία απο καθετότητες_1.png (26.31 KiB) Προβλήθηκε 905 φορές

Ας είναι

το σημείο τομής των ευθειών , $CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PQ$ .

$\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{a_1}}$ γιατί είναι εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο και $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ γιατί είναι οξείες με πλευρές κάθετες .

Άρα $\boxed{\widehat {{a_2}} = \widehat {{\theta _{}}}}$ . Στο $\vartriangle BEP$ η εξωτερική γωνία του $\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{a_2}} + \widehat {{\theta _{}}} = 2\widehat {{\theta _{}}}$

Χρόνια πολλά σε όλους .

Μ άρεσε η λύση του Φιλίππου , Με πρόλαβε ο φίλτατος Σωτήρης .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 16, 2020 4:53 pm
Διπλάσια γωνία από καθετότητες.png
Οξυγώνιο τρίγωνο με είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Το ύψος από την κορυφή τέμνει τον κύκλο στο Η

κάθετη από το στην επανατέμνει τον κύκλο στο και την προέκταση της στο Να δείξετε ότι $\displaystyle P\widehat BC = 2B\widehat PQ.$

Με

ορθόκεντρο του τριγώνου ABC

,οι γωνίες $\theta$ είναι ίσες,οπότε $\angle \phi =2 \theta$

: Διπλάσια γωνία από καθετότητα.png (22.14 KiB) Προβλήθηκε 888 φορές

Διπλάσια γωνία από καθετότητες

Διπλάσια γωνία από καθετότητες

Re: Διπλάσια γωνία από καθετότητες

Re: Διπλάσια γωνία από καθετότητες

Re: Διπλάσια γωνία από καθετότητες

Re: Διπλάσια γωνία από καθετότητες

Μέλη σε σύνδεση