Εισαγωγικές Μαθηματικό Μόσχας 2016

Al.Koutsouridis · #1

7. Η βάση κανονικής πυραμίδας με κορυφή

είναι το εξάγωνο FEDCBA

, με μήκος πλευράς 14. Το επίπεδο $\pi$ παράλληλο προς την ακμή

και κάθετο προς το επίπεδο DES

τέμνει την ακμή

στο σημείο

, έτσι ώστε BK:KC=3:4

. Εξάλλου, οι ευθείες κατά τις οποίες τέμνει το $\pi$ τα επίπεδα BCS

και

, είναι παράλληλες. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που αποκόβει το επίπεδο $\pi$ από την έδρα CDS

.

8. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\sqrt{106 + \log_{a}^{2} \cos ax + \log_{a} \cos^{10} ax} \ + \ \sqrt{58 + \log_{a}^{2} \sin ax - \log_{a} \sin^{6} ax} \ + \ \sqrt{5 + \log_{a}^{2} \tan ax + \log_{a} \tan^{2} ax}$

καθώς και όλα τα ζεύγη (a,x)

για τα οποία επιτυγχάνεται.

Υγ. Το συγκεκριμένο θέμα είναι το θέμα 8 από την λεγόμενη συμπληρωματική εξέταση στα μαθηματικά. Τα θέματα είναι 8 στο σύνολο με τα πρώτα 4 να είναι πολύ εύκολα και τα υπόλοιπα αυξανόμενης δυσκολίας με το έβδομο (συνήθως στερεομετρία) και το όγδοο να είναι πιο απαιτητικά. Η εξέταση γίνεται από το πανεπιστήμιο με διάρκεια 4 ώρες.

Για την διαδικασία εισαγωγής γενικά: Ο υποψήφιος θα πρέπει να δώσει υποχρεωτικά την ενιαία κρατική εξέταση σε τρία βασικά μαθήματα. Για το μαθηματικό είναι, ρωσική γλώσσα, μαθηματικά και φυσική (Για το πώς περίπου είναι η εξέταση στα μαθηματικά βλέπε εδώ).Το καθένα από αυτά καθώς και η συμπληρωματική εξέταση βαθμολογούνται (ύστερα από αναγωγές) σε κλίμακα 100 μορίων. Έτσι για παράδειγμα για το μαθηματικό το μέγιστο των μορίων είναι 400, το άθροισμα δηλαδή των παραπάνω εξετάσεων. Η βάση εισαγωγής για το 2016 διαμορφώθηκε στα 342 μόρια.

dement · #2

Γράφουμε $s \equiv \log_a (\sin ax), c \equiv \log_a (\cos ax)$ . Τότε έχουμε $\log_a (\tan ax) = s - c$ και η παράσταση γράφεται

$\displaystyle E = 9\sqrt{1 + \left( \frac{c+5}{9} \right)^2} + 7\sqrt{1 + \left( \frac{3-s}{7} \right)^2} + 2\sqrt{1 + \left( \frac{s-c+1}{2} \right)^2}$

Επειδή η συνάρτηση $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ είναι αυστηρά κυρτή, ισχύει από την ανισότητα Jensen

$\displaystyle E \geqslant 18 \sqrt{1 + \left( \frac{c+5+3-s+s-c+1}{18} \right)^2} =\boxed{ \boxed{ 9\sqrt{5}}}$

με ισότητα στην περίπτωση $\displaystyle \frac{c+5}{9} = \frac{3-s}{7} = \frac {s-c+1}{2}$ που έχει λύση την s = c = -1/2

.

Άρα, $\sin ax = \cos ax$ και, αφού είναι και τα δύο θετικά, $\sin ax = \cos ax = 2^{-1/2}$ . Έτσι, $\displaystyle \log_a \sin ax = \log_2 \sin ax = -1/2 \implies \boxed{ \boxed{ a=2}}$

Τέλος, αφού $\displaystyle \sin2x = \cos 2x = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \boxed{ \boxed{ x = k \pi + \pi/8, k \in \mathbb{Z}}}$

Al.Koutsouridis · #3

Να ευχαριστήσω τον κ.Σκουτέρη για την λύση. Συμπλήρωσα την αρχική ανάρτηση και με το 7ο θέμα. Πάντως δεν ξέρω κατά πόσον θα μπορούσε ένας μαθητής να επικαλεστεί την ανισότητα Jensen σε τέτοιου είδους εξέταση. Μάλλον θα έπρεπε να την αποδείξει ή να σκαρφιστεί άλλο τρόπο.

dement · #4

Στην ουσία η Jensen που χρησιμοποίησα δεν είναι παρά τριγωνική ανισότητα στο καρτεσιανό επίπεδο. Μάλλον αυτό είναι που ζητείται.

Εισαγωγικές Μαθηματικό Μόσχας 2016

Εισαγωγικές Μαθηματικό Μόσχας 2016

Re: Εισαγωγικές Μαθηματικό Μόσχας 2016

Re: Εισαγωγικές Μαθηματικό Μόσχας 2016

Re: Εισαγωγικές Μαθηματικό Μόσχας 2016

Μέλη σε σύνδεση