mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 18, 2018 4:10 pm**

Θεωρούμε την στοχαστική διαφορική εξίσωση $d X_{t} = d B_{t} - \nabla(U(X_{t}))dt$ στον $\mathbb{R}^{d}$ .
Ο G.Royer στο βιβλίο "An initiation to logarithmic sobolev inequalities" (p29) λέει ότι αν
(1) U είναι $C^{2}$ ,
(2) η στοχαστική εξίσωση δεν εκρηγνύεται σε πεπερασμένο χρόνο και
(3) $\exp(-U)$ είναι ολοκληρώσιμη στον $\mathbb{R}^{d}$ ,
τότε το αντίστοιχο Boltzmann-Gibbs μέτρο πιθανότητας που ορίζεται απο $d\mu(x)=\frac{1}{\zeta} \exp(-U(x)) dx$ είναι αντιστρέψιμο (reversible) για τη διαδικασία (και συνεπώς είναι στάσιμη κατανομή για τη διαδικασία).

Έστω U η οποία δεν ικανοποιεί την τρίτη υπόθεση (ολοκληρωσιμότητα). Τότε, σύμφωνα με τη παραπάνω θεωρία, δε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το Boltzmann-Gibbs μέτρο είναι στάσιμη κατανομή για την διαδικασία.
Η ερώτησή μου είναι τι μπορούμε τώρα να πούμε για τη στάσιμη κατανομή της διαδικασίας ;
Μπορεί να έχει κατανομή κάποιας άλλης μορφής ;( δηλαδή διαφορετικής από το Boltzmann-Gibbs μετρο)
Ή Υπάρχει άλλος τρόπος να καταλήξουμε ότι έχει στάσιμη της μορφής Boltzmann-Gibbs μέτρο ;
Ή Μπορούμε να πούμε ότι η διαδικασία δεν έχει στάσιμη κατανομή ; (υπονοώντας ότι αν είχε τότε αυτή θα ήταν σίγουρα της μορφής Boltzmann-Gibbs μέτρο )

mathematica.gr

Στάσιμη κατανομή για gradient dynamics

Στάσιμη κατανομή για gradient dynamics