Από το μέσο

KARKAR · #1

: Από το μέσο.png (18.64 KiB) Προβλήθηκε 925 φορές

Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , σχεδιάζω ( πώς ? ) τμήμα

, με άκρα επί των AB,AC

και διερχόμενο από

το ορθόκεντρο

, ώστε

. Ο περίκυκλος του AEZ

τέμνει τον περίκυκλο του $\displaystyle ABC$

και στο

. Δείξτε ότι η ευθεία

, διέρχεται από το μέσο

της πλευράς

( χωρίς λύση ) .

#2

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Από το μέσο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , σχεδιάζω ( πώς ? ) τμήμα , με άκρα επί των και διερχόμενο από
το ορθόκεντρο , ώστε .

Καλησπέρα.

: Από το μέσο.png (19.81 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές

Μόνο το σκέλος της κατασκευής.

Η διχοτόμος

της γωνίας $\displaystyle{\widehat A}$ είναι μεσοκάθετος του

.
Από το ορθόκεντρο

φέρνω κάθετη στη διχοτόμο

που τέμνει τις πλευρές AB, AC

στα σημεία E, Z

αντίστοιχα. Το τμήμα

είναι το ζητούμενο.

Για το υπόλοιπο δεν έχω λύση...ακόμα.

#3

KARKAR έγραψε:
Από το μέσο.png
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , σχεδιάζω ( πώς ? ) τμήμα , με άκρα επί των και διερχόμενο από

το ορθόκεντρο , ώστε . Ο περίκυκλος του τέμνει τον περίκυκλο του $\displaystyle ABC$

και στο . Δείξτε ότι η ευθεία , διέρχεται από το μέσο της πλευράς ( χωρίς λύση ) .

Είναι γνωστή πρόταση και έχει ξανασυζητηθεί ότι η διέρχεται από το αντιδιαμετρικό του που λύνει άμεσα το πρόβλημα αλλά τώρα βιάζομαι να πάω για φαγητό με την οικογένεια και είναι δύσκολο να βρεθεί τώρα (νομίζω ότι ήταν και επιλεγμένο θέμα στο προηγούμενο εικοσιδωδεκάεδρο) από τον Κώστα (Βήττα)

Στάθης

#4

Στο σχήμα του Γιώργου ( george visvikis ) πιο πάνω, οι δια των $E,\ Z$ κάθετες ευθείες επί των $AB,\ AC$ αντιστοίχως, τέμνονται στο σημείο έστω

επί της διχοτόμου AP,

το οποίο ταυτίζεται προφανώς με το αντιδιαμετρικό σημείο του

στον περίκυκλο έστω (O')

του ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle AEZ.$

Αποδεικνύεται ότι το σημείο

ανήκει επίσης στην ευθεία HM,

η οποία περνάει από αντιδιαμετρικό σημείο του

έστω το

τον περίκυκλο (O)

του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ και με αυτό το σκεπτικό ολοκληρώνεται μία λύση του προβλήματος, που προέρχεται από την IMO sortlist - 2005 και έχει συζητηθεί εκτεταμένα Εδώ.

Υπάρχει επίσης και στο βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ 2 (*) των δικών μας Μπάμπη Στεργίου και Σιλουανού Μπραζιτίκου ( smar ), στην σελίδα 213.

Κώστας Βήττας.

(*) Καλό είναι να υποστηρίζεται από εμάς τους ίδιους ( στο μέτρο του εφικτού ), η εκδοτική δραστηριότητα μελών του

και ιδιαίτερα των καταξιωμένων, γιατί πέρα από την χρηστική αξία ενός βιβλίου, είναι και ένδειξη τιμής στην αξιοσύνη του συγγραφέα.

Petros N. · #5

Παραθέτω μια λύση που βρήκα συνοπτικά. Στο σχήμα και στη λύση έχω αλλάξει το όνομα των σημείων.

Έστω:

μέσο τόξου

και $BH\cap{(C)}\equiv D , ND\cap{AC}\equiv G , CH\cap{(C)}\equiv E , NE\cap{AB}\equiv F$ . Από το θεώρημα Pascal στο εγγεγραμμένο εξάγωνο BACEND

προκύπτει ότι τα σημεία
F,G,H

είναι συνευθειακά. Επιπλέον εύκολα με γωνίες

μεσοκάθετος

από όπου
$IFH=B/2 +C/2 \implies AF=AG$ και BE=BH, (1)

άρα το

είναι το ζητούμενο τμήμα.
Αν

το κέντρο του (AIHJ)

και $(C)\cap{(L)} \equiv K$ από γνωστή πρόταση

περνά από το

και από το μέσο της

όπου $(C)\cap{AO} \equiv M$ . Άρα αρκεί να δειχθεί ότι
AKFG

εγγράψιμο ή KFH=A/2

όμως αφού

αρκεί

εγγράψιμο ή
EKM=A

η τα αντίστοιχα τόξα να έιναι ίσα οπότε αρκεί BE=MC

που ισχύει αφού
$(1) \implies BE=BH=MC$ όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από το παραλληλόγραμμο BHCM

.

#6

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Από το μέσο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , σχεδιάζω ( πώς ? ) τμήμα , με άκρα επί των και διερχόμενο από

το ορθόκεντρο , ώστε . Ο περίκυκλος του τέμνει τον περίκυκλο του $\displaystyle ABC$

και στο . Δείξτε ότι η ευθεία , διέρχεται από το μέσο της πλευράς ( χωρίς λύση ) .

: Από το μέσο.png (35 KiB) Προβλήθηκε 790 φορές

Αυτό είναι το τελευταίο σχήμα στο οποίο είχα καταλήξει χτες το βράδυ. Είχα αποδείξει ότι τα σημεία S, N, Q

είναι συνευθειακά (

διάμετρος), καθώς επίσης και τα H, M, Q

, αλλά δεν μπορούσα να αποδείξω ότι το

είναι σημείο της

.

#7

KARKAR έγραψε:
Από το μέσο.png
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , σχεδιάζω ( πώς ? ) τμήμα , με άκρα επί των και διερχόμενο από

το ορθόκεντρο , ώστε . Ο περίκυκλος του τέμνει τον περίκυκλο του $\displaystyle ABC$

και στο . Δείξτε ότι η ευθεία , διέρχεται από το μέσο της πλευράς ( χωρίς λύση ) .

Θανάση, χρόνια πολλά !

Ωραία άσκηση και ...χαίρομαι που ...έπεσες και συ πάνω της και την πρότεινες εδώ στο ΜΑΘ . Μου άρεσε και μένα πολύ αυτό το θέμα και έτσι το έχω σε δύο μεριές : Άσκηση 6.87 και Άσκηση 6.82 στο ''Γεωμετρία για Διαγωνισμούς 2 ''. Τη βάλαμε με το Σιλουνανό και με άλλη λύση(Κ. Βήττας) στο ''Ολυμπιάδες 2''. Είναι από τις ασκήσεις που αν διδαχθούν καλά σε ένα μάθημα γεωμετρίας με υποψηφίους Ευκλείδη, ο μαθητής θα μάθει υπέροχα πράγματα.

Να ξαναπώ με την ευκαιρία αυτή ότι οι ασκήσεις γεωμετρίας των shortlist από το 1990 και μετά είναι πραγματικά διαμάντια.

Καλή Πρωτοχρονιά !

Antonis_Z · #8

Καλησπέρα και χρόνια πολλά!

Δίνω μια λύση.Εύχομαι να μην υπάρχει στις πηγές που ανέφερε ο κύριος Μπάμπης.
Χρησιμοποιώ το σχήμα του κύριου Γιώργου,λίγο πιο πάνω.

Έστω BB_1,CC_1

τα ύψη του $\vartriangle ABC$ .
Λόγω του κύκλου (C)

ισχύει ότι $\angle SEC_1=SZB_1$ (1).
Έπειτα,είναι εύκλο να παρατηρήσουμε τα ζεύγη ομοίων τριγώνων: (C_1HE,B_1HZ),(HEB,HZC),(SEB,SZC)

(προκύπτουν εύκολα με γωνίες),οπότε έχουμε τη αναλογική σχέση:
$\frac{C_1E}{B_1Z}=\frac{HE}{HZ}=\frac{BE}{ZC}=\frac{SE}{SZ}$ (2).
Από (1) και (2) έπεται ότι $\vartriangle SEC_1\sim SZB_1$ ,άρα $\angle ESC_1=ZSB_1\Rightarrow C_1SB_1=ESZ=A$ .
Επομένως το ASC_1B_1

είναι εγγράψιμο σε κύκλο (K)

.
Οι ευθείες AS,B_1C_1,BC

συντρέχουν στο ριζικό κέντρο

των κύκλων (O),(BCB_1C_1),(K)

,άρα η

ταυτίζεται με τη πολική του ύψους από το

ως προς τον κύκλο (BCB_1C_1)

.
Τώρα το

είναι το σημείο Miquel

του πλήρους τετραπλεύρου PAB_1C_1BC

,άρα

συνευθειακά-από γνωστή πρόταση( B_1CBB_1

εγγράψιμο)...

Από το μέσο

Από το μέσο

Re: Από το μέσο

Re: Από το μέσο

Re: Από το μέσο

Re: Από το μέσο

Re: Από το μέσο

Re: Από το μέσο

Re: Από το μέσο

Μέλη σε σύνδεση