Αποδείξτε

Ch.Chortis · #1

Αποδείξτε οτι η εξίσωση $x(x+1)=p^{2n}y(y+1)$
όπου

πρώτος και $n \in \Bbb {Z}^{+}$ ,δεν μπορεί να λυθεί στους ακεραίους.

Marios V. · #2

θετικούς ακέραιους εννοείς.

αν x=-1

,

ή

. Αν

,

ή

. Αν

,

ή

. Αν

,

ή

.
Αν τώρα x<-1

ή

, θέτουμε

και

. και καταλήγουμε στην
$z(z+1)=p^{2n}w(w+1)$ .
Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι x,y>0

.
έστω ότι η εξίσωση έχει λύση (x,y)

.
θα είναι $p^{2n}|x$ ή $p^{2n}|x+1$ .
Οπότε: $p^{2n}\leq x+1$ .
αλλά η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την:
$p^{2n}-1=p^{2n}(2y+1)^2-(2x+1)^2=[p^n(2y+1)-2x-1][p^n(2y+1)+2x+1]>2x+1$
oπότε $p^{2n}>2x+2>x+1$ , άτοπο.
άρα μοναδικές λύσεις στους ακέραιους οι: (-1,0), (0,0) ,(0,-1), (-1,-1)

.
Καμία λύση στους θετικούς ακέραιους.

εισαγωγή στις διοφαντικές των andreescu-adrica αν δεν κάνω λάθος;

Ch.Chortis · #3

Φερμά_96 έγραψε:θετικούς ακέραιους εννοείς.

Ναι αυτό εννοώ.

Φερμά_96 έγραψε:εισαγωγή στις διοφαντικές των andreescu-adrica αν δεν κάνω λάθος;

Αν μιλάς για το γνωστό βιβλίο,τότε όχι,δεν πήρα από εκεί την άσκηση αλλά από εδώ.
Μπήκε μία (λίγο) διαφορετική απόδειξη,πάλι με άτοπο.

Marios V. · #4

τότε μάλλον είναι η πηγή της πηγής σου, γιατί και το άλλο πρόβλημα που αναφέρει υπάρχει στο συγκεκριμένο βιβλίο. Και στο ίδιο κεφάλαιο, αν θυμάμαι καλά.

Αποδείξτε

Αποδείξτε

Re: Αποδείξτε

Re: Αποδείξτε

Re: Αποδείξτε

Μέλη σε σύνδεση