mathematica.gr

Στο εξωτερικό ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ θεωρούμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ και ΒΓΖ. Η ευθείες ΓΕ και ΑΖ τέμνονται στο Η. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α,Η, Ζ είναι στην ίδια ευθεία.

Μπάμπης

Typo : Να αποδειχθεί ότι τα σημεία B,Η, Δ είναι στην ίδια ευθεία.

Η ΑΡΧΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

Στο εξωτερικό ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ θεωρούμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ και ΒΓΖ. Η ευθείες ΓΕ και ΒΔ τέμνονται στο Η. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α,Η, Ζ είναι στην ίδια ευθεία.


Θάνο, ευχαριστώ !

Υποθέτω ο κ. Στεργίου εννοεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.

Μία αιτιολόγηση είναι η εξής:

Από την κατασκευή του, το σημείο είναι το σημείο Fermat-Steiner-Torricelli του τριγώνου και επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές, το σημείο αυτό θα βρίσκεται στην μεσοκάθετο της , δηλαδή στην

Οι σημειωμένες με πράσινο είναι 15 μοιρες( ευκολα απο τα ισοσκελή)

Τα τρίγωνα ΑΔΧ και ΑΒΤ είναι ισα( ορθογωνια μια πλευρα και μια γωνία ίση)
Αρα τελικά ΕΔ καθετη στην ΑΖ. Ομοίως ΕΓ κάθετη στη ΔΖ. Αρα Η ορθόκεντρο του τριγώνου ΔΕΖ. Τα τρίγωνα ΔΓΖ,ΔΑΕ,ΕΒΖ είναι ισα. Αρα το ΔΕΖ είναι ισοπλευρο.
Αν υποθέσουμε ότι η ΔΒ δεν περνάει απο το Η αλλά απο το Η' τότε ΔΒ κάθετη ΕΖ( με γωνίες).
Άτοπο. Αρα το Η ταυτίζεται με το Η'

Ax ! Την πάτησα από το σχήμα μου. Το Η είναι σημείο τομής των ΓΕ και ΒΔ.
Όμως , όπως το έφτιαξε ο Θάνος, η άσκηση δεν αλλάζει.Βάζω στην εκφώνηση και την αρχική διατύπωση, για εμπλουτισμό.
Σας ευχαριστώ - Μπάμπης

Μια διαφορετική εκδοχή θα μπορούσε να ήταν και η εξής:

Θεωρούμε τετράγωνο με κορυφές:



όπου η πευρά του τετραγώνου.

Kατασκευάζοντας τα ισόπλευρα τρίγωνα μπορούμε να θεωρήσουμε τα σημεία:



Άρα εύκολα βλέπουμε:

Ακόμα:

Έτσι:

Και:

Έτσι:

Βρίσκοντας τα κοινά σημεία των παραπάνω ευθειών (λύνοντας το σύστημα) θα βρουμε

.

Το σημείο αυτό ανήκει πάνω στην διαγώνιο άρα τα είναι συνευθειακά.

Εύκολα έχουμε ότι Α,Γ και Ε,Ζ συμμετρικά ως προς άξονα συμμετρίας την ΔΒ συνεπώς συμμ(ΕΓ)=ΑΖ . Επομένως η τομή Η των ΕΓ και ΑΖ ανήκει στον άξονα συμμετρίας ΔΒ

(Παρόμοια ΕΑ , ΖΓ , ΔΒ συντρέχουν.)

μια ακομη λυση: το τριγωνο ΒΓΕ ειναι ισοσκελες οποτε η γωνια ΒΕΓ ειναι 15 μοιρες .Εστω Ο το σημειο τομης της ΑΒ με την ΕΓ.η γωνια ΑΟΕ ειναι 75 μοιρες.η γωνια ΑΕΟ ειναι 45 μοιρες .το τριγωνο ΖΒΑ ειναι ισοσκελες οποτε η ΒΑΖ ειναι 15 μοιρες.το τετραπλευρο ΕΑΗΒ ειναι εγγραψιμο οποτε ΗΒΑ=ΑΕΟ=45 μοιρες.οποτε η ΑΗΒ=120 μοιρες και η γωνια ΖΗΒ=60 μοιρες .επειδη 60+120 =180 τα σημεια Ζ,Η,Α ειναι συνευθειακα