Ομοιομορφισμοί

#1

1. Ο μοναδιαίος κύκλος $\displaystyle{\Bbb{S}^1}$ είναι ομοιομορφικός με κάποιο γνήσιο υποσύνολο του;

2. Η μοναδιαία σφαίρα $\displaystyle{\Bbb{S}^2=\{(x,y,z) \in \Bbb{R}^3, x^2+y^2+z^2=1\}}$ είναι ομοιομορφική με κάποιο γνήσιο υποσύνολο της;

dement · #2

Όχι και στα δύο. Πιο γενικά, δεν υπάρχει συνεχής και 1-1 απεικόνιση από μια σφαίρα σε ένα γνήσιο υποσύνολό της.

Έστω $x_0 \in \mathbb{S}_n$ και $f: \mathbb{S}_n \to \mathbb{S}_n - \{x_0\}$ συνεχής και 1-1 απεικόνιση. Θεωρούμε τη στερεογραφική προβολή $g: \mathbb{S}_n - \{x_0\} \to \mathbb{R}^n$ που είναι επίσης συνεχής και 1-1. Άρα η σύνθεση $(g \circ f): \mathbb{S}_n \to \mathbb{R}^n$ είναι συνεχής και 1-1, πράγμα που δεν μπορεί να ισχύει από το θεώρημα Borsuk-Ulam.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

s.kap έγραψε:1. Ο μοναδιαίος κύκλος $\displaystyle{\Bbb{S}^1}$ είναι ομοιομορφικός με κάποιο γνήσιο υποσύνολο του;

2. Η μοναδιαία σφαίρα $\displaystyle{\Bbb{S}^2=\{(x,y,z) \in \Bbb{R}^3, x^2+y^2+z^2=1\}}$ είναι ομοιομορφική με κάποιο γνήσιο υποσύνολο της;

Το 1 μπορεί να προκύψει με στοιχειώδη εργαλεία (συνεκτικότητα)
Εστω $A\subseteq S^{1}$ ομοιομορφικό με το $S^{1}$
$S^{1}-A$ θα περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία.
Γιατί αλλιώς θα είχαμε ένα ανοικτό ομοιομορφικό με ένα κλειστό.
Αν πάρουμε ένα $a\in A$ τότε το $A-\left \{ a \right \}$
δεν είναι συνεκτικό ενώ το $S^{1}-\left \{ b \right \}$
είναι συνεκτικό.
Επειδή τα $A-\left \{ a \right \},S^{1}-\left \{ b \right \}$
οφείλουν να είναι ομοιομορφικά αν τα $S^{1},A$ είναι, έχουμε ΑΤΟΠΟ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Το 2 μπορεί να αποκλεισθεί χρησιμοποιώντας ομοτοπία(homotopy)
Θα περιγράψω την ιδέα.
Αν στην $S^{2}$ πάρουμε ένα σημείο και μια απλή κλειστή καμπύλη γύρω από αυτό
ο ομοιομορφισμός (υποθέτουμε ότι υπάρχει) θα το απεικονήσει σε ένα σημείο και μια καμπύλη στο υποσύνολο η οποία θα είναι απλή κλειστή
(και εδώ το υποσύνολο δεν περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία του $S^{2}$ )
Αν βγάλουμε από την $S^{2}$ το σημείο και από το υποσύνολο την εικόνα του
τότε αυτά που μένουν είναι ομοιομορφικά.
Η καμπύλη στο $S^{2}$ εκτός του σημείου μπορεί να συρικνωθεί σε σημείο ενώ η εικόνα της
στο υποσύνολο εκτός της εικόνας του σημείου δεν μπορεί.
Αυτό είναι ΑΤΟΠΟ.

Νομίζω ότι το θέμα δεν εμπίπτει στην ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ.
Για Αλγεβρική Τοπολογία θα το έλεγα.

Ομοιομορφισμοί

Ομοιομορφισμοί

Re: Ομοιομορφισμοί

Re: Ομοιομορφισμοί

Re: Ομοιομορφισμοί

Μέλη σε σύνδεση