Ανισότητα Ναί!!!

S.E.Louridas · #1

Θεωρούμε το σύνολο $\left\{ {x,y,z} \right\} \subset \mathbb{R},$ με την ιδιότητα τα στοιχεία του να μην αποτελούν αριθμητική πρόοδο. Να αποδειχθεί ότι:
$\left( {\frac{{\left( {x - y} \right)^2 }} {{x + y - 2z}} + \frac{{\left( {y - z} \right)^2 }} {{y + z - 2x}} + \frac{{\left( {z - x} \right)^2 }} {{z + x - 2y}}} \right)\left( {\frac{{x + y - 2z}} {{\left( {x - y} \right)^2 }} + \frac{{y + z - 2x}} {{\left( {y - z} \right)^2 }} + \frac{{z + x - 2y}} {{\left( {z-x} \right)^2 }}} \right) \geqslant$ $4{\left( {x - y} \right) \left( {y - z} \right) \left( {z - x} \right)}\left( {\frac{1} {{x - y}} + \frac{1} {{y - z}} + \frac{1} {{z - x}}} \right)^3 .$

* Τυπογραφικό:
Στην τελευταία παρένθεση της Πρώτης παρένθεσης και κάτω από το τετράγωνο (2) μπήκε στην θέση του x-y το σωστό z-x. Ευχαριστώ τον Χρήστο Κυριαζή και τον Στέλιο που μου το επεσήμαναν.

S.E.Louridas

mostel · #2

Δεν την έπιασα να τη λύσω, αλλά μήπως στο LHS ο 3ος όρος (κλάσμα) της πρώτης παρένθεσης είναι στον αριθμητή (x-z)^2

?

Στέλιος

S.E.Louridas · #3

Αρκεί να αποδείξουμε ότι:
$\left( {\frac{{a^2 }} {{b - c}} + \frac{{b^2 }} {{c - a}} + \frac{{c^2 }} {{a - b}}} \right)\left( {\frac{{b - c}} {{a^2 }} + \frac{{c - a}} {{b^2 }} + \frac{{a - b}} {{c^2 }}} \right) \geqslant 4abc\left( {\frac{1} {a} + \frac{1} {b} + \frac{1} {c}} \right)^3 ,$ όταν
$a + b + c = 0\;\kappa \alpha \iota \;abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) \ne 0.$

$\left( {\frac{{a^2 }} {{b - c}} + \frac{{b^2 }} {{c - a}} + \frac{{c^2 }} {{a - b}}} \right)\left( {\frac{{b - c}} {{a^2 }} + \frac{{c - a}} {{b^2 }} + \frac{{a - b}} {{c^2 }}} \right) = 3 + \sum {\frac{{a^2 }} {{b - c}}} \left( {\frac{{c - a}} {{b^2 }} + \frac{{a - b}} {{c^2 }}} \right) =$
$3 - \sum {\frac{{a^2 \left( {a^2 + b^2 + c^2 + bc} \right)}} {{b^2 c^2 }}} = ... = 3 - \frac{{\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)\left( {a^4 + b^4 + c^4 } \right)}} {{a^2 b^2 c^2 }} - 3\mathop = \limits^{\left( * \right)}$
$- \frac{{\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^3 }} {{2a^2 b^2 c^2 }} = ...\mathop = \limits^{\left( * \right)} 4abc\left( {\frac{1} {a} + \frac{1} {b} + \frac{1} {c}} \right)^3 .$

(*) Με βάση την συνθήκη a +b +c =0.

S.E.Louridas

Ανισότητα Ναί!!!

Ανισότητα Ναί!!!

Re: Ανισότητα Ναί!!!

Re: Ανισότητα Ναί!!!

Μέλη σε σύνδεση