Αναδιάταξη δύναμης του 2 δίνει ποτέ δύναμη του 2;

#1

Υπάρχει θετικός ακέραιος

ο οποίος είναι δύναμη του

και

ένας διαφορετικός ακέραιος

ο οποίος να προκύπτει από τον

με αναδιάταξη των ψηφίων του (στο συνηθισμένο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης)

έτσι ώστε και ο

να είναι επίσης δύναμη του

;

Σημείωση Δεν επιτρέπεται ένας θετικός ακέραιος να ξεκινά με το ψηφίο

Paulos4 · #2

Γίνεται να απαντήσουν και μαθήτες λυκείου;

#3

Paulos4 έγραψε:Γίνεται να απαντήσουν και μαθήτες λυκείου;

Με χαρά.

#4

Η απάντηση είναι αρνητική.

Έστω ότι υπήρχε ένας τέτοιος αριθμός $\displaystyle{N}$ και $\displaystyle{M}$ μια άλλη δύναμη του

που προκύπτει με αναδιάταξη των ψηφίων του $\displaystyle{N}$ . Από την υπόθεση, οι αριθμοί $\displaystyle{N}$ και $\displaystyle{M}$ έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων. Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι $\displaystyle{N < M}$ . Τότε, θα είναι:

$\displaystyle{M \in \left\{ {2N,4N,8N} \right\}}$

και άρα

$\displaystyle{M - N \in \left\{ {N,3N,7N} \right\}.}$

Αλλά οι αριθμοί $\displaystyle{N}$ και $\displaystyle{M}$ έχουν τα ίδια ψηφία, οπότε έχουν και το ίδιο άθροισμα ψηφίων. Επομένως, ο αριθμός $\displaystyle{M - N}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{9}$ , πράγμα άτοπο.

Ώστε, δεν υπάρχει αριθμός $\displaystyle{N}$ με τη ζητούμενη ιδιότητα.

#5

Βαγγέλη πολύ ωραία!

Αναρωτιέμαι αν μπορούμε να βρούμε αντιπαράδειγμα στην περίπτωση που επιτρέπεται να ξεκινά ένας θετικός ακέραιος με

.

#6

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Βαγγέλη πολύ ωραία!

Αναρωτιέμαι αν μπορούμε να βρούμε αντιπαράδειγμα στην περίπτωση που επιτρέπεται να ξεκινά ένας θετικός ακέραιος με .

Παύλο το είχα δει και πιο παλιά χωρίς όμως να καταλήξω κάπου. Ας δούμε ένα σχετικό πρόβλημα για το οποίο όμως πάλι δεν έχω λύση.

Υπάρχει αριθμός

(όχι απαραίτητα δύναμη του 2) ώστε αν επιτρέπεται να το γράψουμε ξεκινώντας με κάποια μηδενικά και μετά τα αναδιατάξουμε να πάρουμε τον αριθμό 2^m n

;

[Πρέπει απαραίτητα $2^m \equiv 1 \bmod 9$ το οποίο δίνει $m \equiv 0 \bmod 6$ . Ισοδύναμα θέλουμε να πάρουμε αριθμό της μορφής 64^r n

.]

Αναδιάταξη δύναμης του 2 δίνει ποτέ δύναμη του 2;

Αναδιάταξη δύναμης του 2 δίνει ποτέ δύναμη του 2;

Re: Αναδιάταξη δύναμης του 2 δίνει ποτέ δύναμη του 2;

Re: Αναδιάταξη δύναμης του 2 δίνει ποτέ δύναμη του 2;

Re: Αναδιάταξη δύναμης του 2 δίνει ποτέ δύναμη του 2;

Re: Αναδιάταξη δύναμης του 2 δίνει ποτέ δύναμη του 2;

Re: Αναδιάταξη δύναμης του 2 δίνει ποτέ δύναμη του 2;

Μέλη σε σύνδεση