Εξάσκηση στη μαθηματική επαγωγή

Andreas Dalaoutis · #1

Αποδείξτε με επαγωγή τον τύπο:

$\sum_{i=1}^{n}{i^3}=(1+...+n)^2$

#2

Andreas Dalaoutis έγραψε:Αποδείξτε με επαγωγή τον τύπο:

$\sum_{i=1}^{n}{i^3}=(1+...+n)^2$

Σίγουρα δεν θα έλεγα ότι η άσκηση είναι για επίπεδο Μαθηματικών Ολυμπιάδων, ως ρουτίνα. Για το επαγωγικό βήμα:

$\left (1+...+n +(n+1)\right)^2 = (1+...+n)^2 + 2\left (1+...+n)(n+1) + (n+1)^2 =$

$= \sum_{i=1}^{n}{i^3} + n(n+1)(n+1) + (n+1)^2 = \sum_{i=1}^{n}{i^3}+ (n+1)^3= \sum_{i=1}^{n+1}{i^3}$

M.

Andreas Dalaoutis · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Andreas Dalaoutis έγραψε:Αποδείξτε με επαγωγή τον τύπο:

$\sum_{i=1}^{n}{i^3}=(1+...+n)^2$
Σίγουρα δεν θα έλεγα ότι η άσκηση είναι για επίπεδο Μαθηματικών Ολυμπιάδων, ως ρουτίνα. Για το επαγωγικό βήμα:

$\left (1+...+n +(n+1)\right)^2 = (1+...+n)^2 + 2\left (1+...+n)(n+1) + (n+1)^2 =$

$= \sum_{i=1}^{n}{i^3} + n(n+1)(n+1) + (n+1)^2 = \sum_{i=1}^{n}{i^3}+ (n+1)^3= \sum_{i=1}^{n+1}{i^3}$

M.

Σωστή η λύση, διαφωνώ όμως κάθετα με την άποψη και τεκμηριώνω:

1) Η μαθηματική επαγωγή αποτελεί βασικό και απαραίτητο εργαλείο στους διαγωνισμούς. Χωρίς επαγωγή δεν πας πουθενα

2) Δεν είπα ποτέ ότι μια τέοιου επιπέδου άσκηση θα ήταν κατάλληλη για διαγωνισμό. Γι' αυτό και αναφέρω τη λέξη εξάσκηση, αφού την ανέβασα για αρχάριους όσον αφορά τους διαγωνισμούς.

KARKAR · #4

Είναι μόλις η άσκηση

, της

ομάδας του σχολικού βιβλίου . Επομένως ...

Marios V. · #5

Στο ίδιο θέμα, σε αρκετά πιο ψηλό επίπεδο:
Να λυθεί στους θετικούς ακέραιους η $a_{1}^3+...+a_{n}^{3}=(a_{1}+...+a_{n})^2$ αν για κάθε άνισους θετικούς ακέραιους $i, j\leq n$ ισχύει ότι $a_{i}\neq a_{j}$ .

Andreas Dalaoutis · #6

KARKAR έγραψε:Είναι μόλις η άσκηση , της ομάδας του σχολικού βιβλίου . Επομένως ...

α) Δεν την είδα από εκεί

β) Και; Απάντησα ήδη όσον αφορά το επίπεδο.

#7

Andreas Dalaoutis έγραψε:

Σωστή η λύση, διαφωνώ όμως κάθετα με την άποψη και τεκμηριώνω:

1) Η μαθηματική επαγωγή αποτελεί βασικό και απαραίτητο εργαλείο στους διαγωνισμούς. Χωρίς επαγωγή δεν πας πουθενα

Κανένας δεν διαφωνεί. Άλλωστε έχω γράψει άρθρο για επαγωγή σε επίπεδο Ολυμπιάδων εδώ.

Andreas Dalaoutis έγραψε: 2) Δεν είπα ποτέ ότι μια τέοιου επιπέδου άσκηση θα ήταν κατάλληλη για διαγωνισμό. Γι' αυτό και αναφέρω τη λέξη εξάσκηση, αφού την ανέβασα για αρχάριους όσον αφορά τους διαγωνισμούς.

Όσο για το θέμα "ρουτίνα", τα λέει όλα το προηγούμενο ποστ του Θανάση (KARKAR). O ίδιος, άλλωστε, έχω μία σειρά ασκήσεων στο παραπάνω άρθρο (τις Ασκήσεις 2.1) που τις ονομάζω "ασκήσεις ρουτίνας" οι οποίες είναι του ιδίου επιπέδου ή και δυσκολότερες από την προταθείσα.

Μ.

Εξάσκηση στη μαθηματική επαγωγή

Εξάσκηση στη μαθηματική επαγωγή

Re: Εξάσκηση στη μαθηματική επαγωγή

Re: Εξάσκηση στη μαθηματική επαγωγή

Re: Εξάσκηση στη μαθηματική επαγωγή

Re: Εξάσκηση στη μαθηματική επαγωγή

Re: Εξάσκηση στη μαθηματική επαγωγή

Re: Εξάσκηση στη μαθηματική επαγωγή

Μέλη σε σύνδεση