01-5-2026 Μέγιστο.png Έστω $r = 1$. Τότε $ \displaystyle \user2{A}\left( { - 1,0} \right),\;B\left( {1,0} \right),\;S\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi ,\;\eta \mu \varphi } \right),\;{\rm T}\left( {1,\;\eta \mu \varphi } \right)$ με $ \displaystyle 0 < \varphi < \pi $ . Είναι$ \displaystyle \left...

Καλησπέρα σε όλους.

Το θέμα είχε απασχολήσει πολύ παλαιότερα το Δίνω την παραπομπή για όποιον από τους νεότερους θα ήθελαν να γνωρίσουν και για τους παλαιότερους να θυμηθούν τις συζητήσεις 17 χρόνια πριν. ΕΔΩ #14 και στις επόμενες.

Είναι η ιδέα μου ή είναι πολύ κακογραμμένα; Αποστόλη καλημέρα. Νομίζω ότι η έκφραση άποψης στο :logo: (ή και οπουδήποτε αλλού) οφείλει να συνοδεύεται από τεκμηρίωση και να μην είναι ισοπεδωτική. Μιλάμε για 19 νέα βιβλία από ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ συγγραφικές ομάδες, τα οποία, μάλιστα, οφείλουν να ακολουθούν ...

Μια ακόμα λύση λιγότερο κομψή. Αν πω ότι βρήκα "διασκεδαστική" την απλοποίηση στο τελευταίο βήμα των πράξεων, δεν θα με πιστέψετε. Έτσι δεν είναι; 26-4-2026 Γεωμετρία b.png $A(3, -4), B(8, -4), D((3,0), O(0,0)$. $BC$ η εφαπτομένη του $x^2+y^2=9$ στο 1ο τεταρτημόριο με $C(a,b), a^2+b^2=9$. $ \display...

Καλημέρα σε όλους. Άλλη μια προσέγγιση με Ανάλυση - Σύνθεση- Απόδειξη στο όμορφο πρόβλημα του Θανάση . Έχω κάποια κοινά σημεία με τη 2η λύση του Μιχάλη (Λάμπρου) παραπάνω. 26-4-2026 Γεωμετρία.png Υπόθεση Έστω ότι κατασκευάστηκε το ζητούμενο σχήμα. Έστω $R$ η ακτίνα του ημικυκλίου. $ \displaystyle \l...

Με τη σειρά μου να ευχαριστήσω για τις ευχές και να ευχηθώ σε ΟΛΟΥΣ τους φίλους στο υγεία, δημιουργικότητα και κάθε ευτυχία.

Καλησπέρα σε όλους. Ας δούμε και μια διαφορετική προσέγγιση. 24-4-2026 Γεωμετρία.png Έστω $A(0,0), B(1, 0), C(1,1), D(0,1)$. Έστω $E(a, 0), 0<a<1$. Τότε $F$ σημείο τομής $ \displaystyle AC:y = x,\;\;BE:y = - \frac{1}{a}x + 1$ , άρα $ \displaystyle F\left( {\frac{a}{{a + 1}},\frac{a}{{a + 1}}} \right...

Καλημέρα σας. Επιτρέψτε μου τη διατύπωση μιας γνώμης: Δεν καταλαβαίνω γιατί έπρεπε να γράψω όλη αυτή τη latex με το πληκτρολόγιο , (όπως έκανα για το παραπάνω κείμενο ) ,ενώ υπάρχει το κατάλληλο εργαλείο. Ένας πτυχιούχος μαθηματικός δεν έχει κανένα λόγο να κάθεται να γράφει πλήρεις λύσεις π.χ. σε εξ...

Είναι $ \displaystyle x, y \ne0$ και $ \displaystyle x \ne y$, αφού για $ \displaystyle x = y$ το σύστημα που δίνεται είναι αδύνατο. $ \displaystyle \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = \frac{5}{3}{\left( {xy} \right)^2} = \frac{{15}}{4}$ $ \displaystyl...

Καλημέρα σε όλους. Μία μακροσκελής απάντηση. Θα χαρώ να δω κάτι συντομότερο. Θέτω $ \displaystyle x + y = a,\;\;xy = b$ , οπότε $ \displaystyle {x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = {a^2} - 2b$ το σύστημα γίνεται $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a + {b^2} = 41\\ {a^2} - b = 31 \...

Επιχειρώ μια απάντηση στο θέμα του Θανάση . Για να έχει νόημα στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση πρέπει $ \displaystyle 0 \le x \le \frac{a}{2}$ Έστω $ \displaystyle \sqrt {\frac{a}{2} - x} = y,\;\;y \ge 0$ οπότε $ \displaystyle {y^2} = \frac{a}{2} - x$ (1) Η εξίσωση γίνεται $ \displaystyle {x^2}...

Αναζητώντας παλαιότερα βιβλία Γεωμετρίας, έκανα αναζήτηση στην ενημερωμένη και έγκυρη ιστοσελίδα του Παναγιώτη Χρονόπουλου εδώ . Εκεί αναφέρονται τα πιο επιδραστικά βιβλία Γεωμετρίας των τελευταίων δεκαετιών. Έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον να γνωρίσουν οι νεώτεροι συνάδελφοι τη μαθηματική μας ιστορία μέσ...

Περιμένοντας την ανάρτηση των νέων βιβλίων, να ευχηθώ να είναι καλοτάξιδα, να πετύχουν το στόχο τους. Να ανταμείψουν τον κόπο συγγραφέων, συντελεστών και διορθωτών. Χαίρομαι που βλέπω στις συγγραφικές ομάδες ονόματα φίλων στο :logo: Κοιτώντας τα εξώφυλλα των νέων βιβλίων της Α΄Λυκείου, είδα ότι λείπ...

Καλημέρα σε όλους. Πολλές φορές γρίφοι όπως ο παραπάνω δέχονται ως απάντηση μετασχηματισμούς που δεν ακολουθούν τους κανόνες της σαφούς μαθηματικής διατύπωσης, που (οφείλουμε να) χρησιμοποιούμε. Δεν είμαι οπαδός αυτών των θεμάτων (που δεν έχουν μαθηματικό υπόβαθρο) και δεν τα χρησιμοποιώ. Π.χ. εδώ, ...

Kαλησπέρα σε όλους. Δίχως να πειράξουμε το σχήμα του Θανάση . Δίκαιη μοιρασιά.png Έστω $ \displaystyle \widehat C \le 60^\circ $ . Αλλιώς εργαζόμαστε αναλόγως για τη μικρότερη γωνία του. $ \displaystyle \sigma \upsilon \nu C = \frac{{CT}}{{SC}} \Leftrightarrow CT = SC \cdot \sigma \upsilon \nu C$ $ ...

Πυραμ αριθ.png Το συνολικό άθροισμα είναι $60$. Κάθε αριθμός στις κορυφές προστίθεται τρεις φορές, άρα το άθροισμά τους είναι $20$. Το άθροισμα της οριζόντιας βάσης είναι $34$. Οι κορυφές της βάσης εμφανίζονται δύο φορές, άρα έχουν άθροισμα $17$. Η πάνω κορυφή είναι $3$. Ομοίως οι άλλες κορυφές είν...

KARKAR έγραψε: ↑

Δευ Απρ 06, 2026 6:21 pm

Δίνεται η συνάρτηση : . Δείξτε ότι για :

ισχύει : ( Θεώρημα Karsen* )

Karsen: ,Συγγενής του Jensen, με καταγωγή από Καρδίτσα.

Θανάση όχι οι Γιώργηδες. Οι Ριζαίοι έχουν θέμα με τις Ρίζες....

Στο τετράγωνο περιέχονται μικρά τετράγωνα με ολικό άθροισμα .

Οι ορατοί αριθμοί έχουν άθροισμα γιατί οι ακραίες τιμές συμμετέχουν σε ένα, ενώ η μεσαία και στα τέσσερα.

Οι αόρατοι συμμετέχουν σε δύο ο καθένας, άρα έχουν άθροισμα .

[attachment=0]06-04-2026 Γεωμετρία.png[/attachment] Οι γωνίες $P, S$ είναι ίσες ως εγγεγραμμένες στον ίδιο κύκλο και οι οποίες βαίνουν σε ίσα τόξα $ \displaystyle \mathop {LB}\limits^ \cap = \mathop {LA}\limits^ \cap $ (αφού $A, B$ συμμετρικά ως προς $OK$). $ \displaystyle \widehat L = \frac{{\matho...