Να βρείτε για ποιες τιμές της πραγματικής παραμέτρου η εξίσωση

έχει τέσσερις πραγματικές ρίζες.

Έστω ένα πολυώνυμο ου βαθμού με .
Να βρείτε το

Έστω η συνάρτηση $f\left( x \right)=\alpha x^{2}+\left( 2b+1 \right)x-\alpha-2$ όπου $ \alpha, b \in \mathbb{R}, \alpha \ne 0$. Αν είναι γνωστό πως η συνάρτηση αυτή έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα $\left[ 3,4 \right]$. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\alpha^2+b^2$. Υ.Γ: Δε μπορώ ν...

Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων ένας κύκλος που διέρχεται από την αρχή του
συστήματος συντεταγμένων έχει ακτίνα .
Αν ο κύκλος βρίσκεται εξ ολοκλήρου εντός της περιοχής του επιπέδου που προσδιορίζεται από τη σχέση
τότε να βρείτε τη μέγιστη τιμή της ακτίνας .

Έστω η συνάρτηση $ f(x)=\left\{\begin{matrix} x &, x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\\ \frac{q+1}{p}&, x=\frac{q}{p},p,q \in \mathbb{N^{^{*}}}, p> q, \left( p,q \right)=1 \end{matrix}\right.$ Να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης $f$ όταν $x \in \left( \frac{7}{8},\frac{8}{9} \right)$ Υ.Γ: Ταλαιπωρήθηκα αφάν...

Καλησπέρα σε όλους! Είμαι σε μια περίοδο συνεχούς κίνησης εν μέσω καλοκαιρινής ραστώνης. Δε φαντάστηκα πως θα προκύψει αυτός ο πλουτος απαντήσεων όταν έγραψα αυτό το κείμενο. Αυτό είναι και το μεγαλύτερο και καλύτερο χαρακτηριστικό του mathematica.gr. Και μου είχε λείψει. Σας ευχαριστώ όλους για τις...

Ο Σπύρος και ο Χρήστος, οι δύο γνωστοί φίλοι και απόφοιτοι της Σχολής Μπουφιάδη έχουν συχνά πυκνά διάφορα κολλήματα (γνωστικά εμπόδια τα λένε επιστημονικά) και η αγάπη τους για τα μαθηματικά τους οδηγεί σε προσοδοφόρες συζητήσεις με τελική έκβαση την αυτοβελτίωσή τους. Εκεί που περπατούσαν λοιπόν εί...

Καλησπέρα Γιώργο και συγγνώμη για την αργοπορία καθώς ειχα να μπω πολύ καιρό στο φόρουμ.
Δε νομίζω πως έχω να πω κάτι παραπάνω από όσα είχαν πρι εκλεκτοί κι αξιοσέβαστοι συνάδελφοι.
Χαιρομαι που σε άγγιξε το θέμα.
Να είσαι καλά.
Χρήστος

Καλησπέρα!
Ευχαριστώ πολύ για την ενασχόληση όλων σας.
Ήταν μια άσκηση από παλιό τεύχος του mathematics magazine.
Καλή επερχόμενη εβδομάδα!

Καλησπέρα Σωτήρη. Γιώργο, Σιλουανέ! Σας ευχαριστώ θερμά για την ανασχόληση. Από χτες κατάλαβα από μηνύματα φίλων πως υπάρχει σύγχυση με γνωστή άσκηση στην οποία στο δεύτερο μέλος υπάρχει τρία και αναφέρεται σε ισόπλευρο τρίγωνο ενώ αυτή σε ισοσκελές. Παράληψη μου είναι πως δεν ανέφερα πως δεν πιάνετ...

Έστω τρεις μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει:



Να αποδείξετε ότι οι είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου στο μιγαδικό επίπεδο.

Ευχαριστώ πολύ για την λύση (πολύ απλούστερη της δικής μου) Σιλουανέ!
Κύριε abgd ευχαριστώ πολύ για την ένστασή σας, θα την μελετήσω.

Έστω οι πραγματικοί αριθμοί .
Αν η ανισοισότητα ισχύει για κάθε
τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

Καλημέρα σας. Με χαρά δημοσιεύουμε το κείμενο της εργασίας μας σχετικά με την οπτικοποίηση μαθηματικών εννοιών. Δημοσιεύτηκε πριν λίγες ημέρες στο τεύχος 98-99 του Ευκλείδη Γ. Ελπίζουμε να σας φανεί ενδιαφέρον. Σας ευχαριστούμε εκ των προτέρων για την προσοχή σας και αναμένουμε τις παρατηρήσεις σας....

Έστω το ορθόκεντρο ενός τριγώνου . Αν είναι το μέσο της πλευράς
και μια ευθεία που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην , τέμνει τις πλευρές του τριγώνου
στα σημεία αντίστοιχα τότε να αποδείξετε ότι

Να επιλύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την εξίσωση:

Να βρείτε το πλήθος των άνισων τριγώνων που έχουν ακεραίου μήκους πλευρές και σταθερή περίμετρο ίση με .

Έστω ένα σημείο στο εσωτερικό ενός ισοπλεύρου τριγώνου
πλευράς .
Αν οι τέμνουν αντίστοιχα τις πλευρές στα σημεία
τότε να αποδείξετε ότι:

Έστω . Αν ισχύει να υπολογίσετε τον .

Σε ένα τρίγωνο $ABC$ στο οποίο ισχύει $\widehat{ABC}\ge 90^{o}$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $R=2$. Αν $x$ είναι ένας αριθμός που ικανοποιεί την εξίσωση $x^4+ax^3+bx^2+cx+1=0$, όπου $a=BC, b=CA, c=AB$ (πλεύρες του τριγώνου δηλαδή). Βρείτε όλες τις πιθανές τιμές που μπορεί να λάβει ο αριθμός $...